采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深人 对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相 变换：
0 f c oct
f1 f 2 f 3 I1 m 3 3 3
( f1 f 2 ) 2 ( f 2 f 3 ) 2 ( f 3 f1 ) 2 5 m 2J 2 r 0 f c oct 3 3 3 3 2 f1 f 2 f 3 2 f1 f 2 f 3 2 f1 f 2 f 3 2 f1 f 2 f 3 cos 3 2 oct 2 3J 2 6r 30 m 或 cos3 3 3J 3 2J 3 3 2J1.5 oct 2
③破坏曲线与等应力轴ξ有关。在ξ轴的正向，静水压力轴的拉端 封闭，顶点为三轴等拉应力状态；在ξ轴的负向，压端开口，不 与静水压力轴相交，破坏曲线的开口随ξ轴绝对值的增大而增大；
④子午线上各点的偏应力或 八面体剪应力值，随静水压
力或八面体正应力的代数值 的减小而单调增大，但斜率 渐减，有极限值；
⑤偏平面上的封闭曲线三折 对称，其形状随静水压力或
4.7破坏准则
4.7.1破坏包络面的形状及其表达
在主应力空间坐标系（σ1, σ2, σ3）中， 将试验中获得的混凝土 多轴强度（f1， f2， f3）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相
邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面。
-σ3 坐标轴的顺序 按右手螺旋法 则规定 σ2 α ξ -σ1 -(σ1, σ2) σ3 -σ2 σ1
θ =0o
拉压子午线的命名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于 三轴试验过程。 若试件先施加静水应力σ1 = σ2 = σ3 ，后在一轴σ1上施加拉力， 得σ1 ≥ σ2 = σ3 ，称拉子午线； 若试件先施加静水应力σ1 = σ2 = σ3 ，后在另一轴σ3上施加压 力，得σ1 =σ2 ≥ σ3 ，称压子午线。
另外也可以理解为以单轴拉、 压条件定义拉、压子午线，即单 轴拉状态所在的子午线成为拉子 午线，而单轴压状态所在的子午 线成为压子午线。
θ =60o
θ =0o
试验研究指出，混凝土的三维 破坏面也可用三维主应力空间破 坏曲面的圆柱坐标ξ，r，θ来描述， 其本身也是应力不变量。
σ3 P(σ1 ,σ2 , σ3) r e o 偏斜应力 N σ2
拉子午线 θ=0o
-(σ1, σ2)
+σ3 等应力轴和一个主应力轴组成的平 面通过另两个主应力轴的等分线
将以上图形绕坐标原点逆时针方向旋转一角度(90o－α)，得到以 静水压力轴(ξ)为横坐标、偏应力(r)为纵坐标的拉、压子午线。 于是，空间的破坏包络面改为由子午面和偏平面上的包络曲线 来表达。破坏面上任一点的直角坐标(fl ， f2， f3 )改为由圆柱坐 标(ξ,r,θ)来表示，换算关系为： ( f1 f 2 f 3 ) / 3 3 oct
σ3
转换过 程归纳
ξ
o

3 oct
θ
ξ
静水应力
3 oct
r σ1 =σ2 = σ3 N σ2
σ1
圆柱坐标系及主应 力空间应力分解 σ 1 -σ3 偏斜应力 平面中矢 量的方向 σ2 偏平面 -σ1 P r θ N σ3
-σ3 σ1 -σ2
ξ，r，θ的几何表示 偏平面
压子午线 θ=60o rc rt
r ( f1 f 2 ) 2 ( f 2 f 3 ) 2 ( f 3 f1 ) 2 / 3 3 oct cos (2 f1 f 2 f 3 ) /( 6r )
由上式可知，将上图的坐标缩 小 3 可以用八面体正应力（σoct） 和剪应力（τoct）坐标代替静水 压力和偏应力坐标，得到相应的 拉、压子午线和破坏包络线。
最终可统一用相对八面体强度（ σ0 = σoct / fc和τ0= τoct / fc ）表达， 经归纳得子午线方程的3种基本形式：
最终可统一用相对八面体强度（ σ0 = σoct / fc和τ0= τoct / fc ）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：
0 A B 0 C 2 0 D E 0 F 0 0 G[ ( 0 )] H
静水压力轴上一点与坐 标原点的距离称为静水压 力（ξ）；
静水压力轴
-σ3
σ2
α ξ
+(σ1, σ2) σ1
其值为3个主应力在静水 压力轴上的投影之和，故：
-σ1 -(σ1, σ2)
1 ( 1 2 3 ) / 3 I1 3 m 3 cot 3
σ3 -σ2
垂直于静水压力轴的平面为偏平面。
破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。
ft -fc
σ1
ftt ft
+(σ1, σ2)
σ1 σ2 σ1 σ2
-fc
σ2
fcc
在主应力空间中，与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水 压力轴（即各点应力状态均满足：σ1=σ2=σ3）。 此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，均为
arc cos(1 / 3 )
根据试验结果绘制的拉、压子午线和偏平面包络线。
子午线按照偏平面夹角划分，试验点的θ=30~60o 分别列在横 坐标轴的上、下。
试验时测试θ=0o～60o的扇形 （其他的扇形是对称的）
偏平面包络线则以八面体应力值分段给出。图中曲线为混凝 土破坏准则的理论值。
根据国内外混凝土多轴强 度的大量试验资料分析，破 坏包络曲面的几何形状具有 如下特征： ①曲面连续、光滑、外凸； ②对静水压力轴三折对称， 当应力状态为静水应力与单 向拉应力叠加时，θ=0o，故 θ=0o的子午线称为受拉子午 线。如将单向拉应力换为压 应力，则相应于受压子午线， θ=60o。
2 0
一些常用的、有代表性的混凝土破坏准则列于下表, 同时给出了原始表达式和统一表达式，可看到两者中 参数的互换关系。
过镇海、王传志、张秀琴等搜集了国内外大量的混 凝士多轴强度试验数据，与按上述准则计算的理论值 进行全面比较，根据三项标准： ①计算值与试验强度的相符程度； ②适用的应力范围宽窄； ③理论破坏包络面几何特征的合理性等加以评定。 所得结论为： 较好的准则：过—王、Ottosen和Podgorski准则； 一般的准则：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos， WillamWarnke准则； 较差准则：Bresler-Pister准则。 在结构的有限元分析中，可根据结构的应力范围和 准确度要求选用合理的混凝土破坏准则。
J2 J2 I1 a 2 b 1 0 fc fc fc
1 1 1 当 30 ,即 cos3 0时 k1 cos[ cos (k 2 cos 3 )] r 3 1 1 o 当 30 ,即 cos3 0时 k1 cos[ cos (k 2 cos 3 )] 3 3
破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉 压子午面和偏平面上的平面图形来表示。 拉压子午面为静水压力轴与任一主应力轴（如图中的σ3轴）组成的平面， 同时通过另两个主应力轴（ σ1 ， σ2 ）的等分线。此平面与破坏包络面的交
线，分别称为拉、压子午线。
θ =60o
1、拉子午线的应力条件为σ1 ≥ σ2 = σ3 ，线上特征强度点有单轴受拉 (ft,0,0)和二轴等压(0,-fcc,-fcc）在偏平 面上的夹角为θ =0o ; 2、压子午线的应力条件则为σ1 = σ2 ≥ σ3 ，线上有单轴受压(0,0,-fc )和二 轴等拉(ftt, ftt, 0)，在偏平面上的夹角 θ =60o。 3、拉、压子午线与静水压力轴同交 于一点，即三轴等拉(fttt, fttt, fttt)。拉、 压子午线至静水压力轴的垂直距离 即为偏应力 rt 和 rc。
八面体正应力值的减小，由 近似三角形(rt／rc≈0.5)逐渐 外凸饱满，过渡为一圆(rt／ rc=1）。
4.7.2破坏准则
将混凝土的破坏包络曲面用数学函数加以描述，作 为判定混凝土是否达到破坏状态或极限强度的条件， 称为破坏准则或强度准则。虽然它不属基于机理分析、
具有明确物理概念的强度理论，但它是大量试验结果 的总结，具有足够的计算准确性，对实际工程有重要 的指导意义。 1、分类： ①借用古典强度理论的观点和计算式; ②以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式； ③以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式， 参数值由若干特征强度值标定。各个准则的表达方式 和简繁程度各异，适用范围和计算精度差别大，使用 时应认真选择。
同理，混凝土的二轴等压（σ1=0，f2=f3=fcc）和等拉（ σ3=0， f1=f2=ftt ）强度 位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，3个坐标面内各有一点；
混凝土的三轴等拉强度（fl=f2=f3=fttt )只有一点且落在静水压力轴的正方向。 对于任意应力比(fl≠f2≠f3)的三轴受压、受拉或拉／压应力状态，从工程观点考 虑混凝土的各向同性，可由坐标或主应力(fl，f2，f3 )值的轮换（破坏横截面三重 对称），在应力空间中各画出6个点，位于同一偏平面上，且夹角θ值相等。
2、著名的古典强度理论包括：
①最大主拉应力理论（Rankine)； ②最大主拉应变理论（Mariotto）； ③最大剪应力理论(Tresca)； ④统计平均剪应力理论（Von Mises)； ⑤Mohr-Coulomb理论； ⑥Drucker-Prager理论。
共同特点：
针对某种特定材料而提出，对于解释材料破坏的内在原因和 规律有明确的理论（物理）观点，有相应的试验验证，破坏包 络面的几何形状简单，计算式简明，只含1个或2个参数，其值 易于标定。因而，它们应用于相适应的材料时，可在工程实践 中取得良好的效果。例如.Von Mises准则适用于塑性材料（如 软钢），在金属的塑性力学中应用最广；Mohr-Coulomb准则 反映了材料抗拉和抗压强度不等（ ft＜fc）的特点，适用于脆性 的土壤、岩石类材料，在岩土力学中广为应用。