利用旋转法解几何最值问题应用举例一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为 ．解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM ＝2，MH ＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE +EC ＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA ＝2，PB ＝4，将线段PA 绕P 点旋转一周，以AB 为边作正方形ABCD ，则PD 的最大值为 ．解析：将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，PD 的最大值即为P 'B 的最大值，∴PA ＝PA '，∠PAP '＝90°∴PP '＝PA ＝2 ∵△P 'PB 中，P 'B ＜PP '+PB ，PP ′＝PA ＝2，PB ＝4，且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P 'B 取得最大值，此时P 'B ＝PP '+PB ＝2+4，即P 'B 的最大值为2+4． 例5、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，若AC ＝AD ，且∠ACD ＝60°，则对角线BD 的长的最大值为 ．解析：将AB 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AK ，连接BK 、DK ．则AK ＝AB ＝BK ＝6，∠KAB ＝60°，∴∠DAC ＝∠KAB ，∴∠DAK ＝∠CAB ，在△DAK和△CAB 中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（ ）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在△Rt DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH ＝，在△Rt ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP ＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝4，BC ＝5，P 是△ABC 内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值为 ．解析：如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连接EP ，CD ，∴△ABP ≌△DBE ∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ，∴△BPE 是等边三角形∴EP ＝BP ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ,∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA +PB +PC 有最小值CD∵∠ABC ＝30°＝∠ABP ∠+PBC ,∴∠DBE ∠+PBC ＝30°,∴∠DBC ＝90°,∴CD ＝＝， 例9、如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（ ）A ．4+3B ．2C ．2+6D ．4解：由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形，∴PC ＝PF ，∵PB ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝PA +PF +EF ，∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA +PB +PC 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴tan ∠ACB ＝＝， ∴∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝4，∵∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∴AE ＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CA解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE， ∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF ＝BC ＝2，∴EF ＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F ，则点D在⊙F上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE≤DF+EF ＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习1、已知x 轴上一点A （1，0），B 为y 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边△ABC 如图所示，已知点C 随着点B 的运动形成的图形是一条直线，连接OC ，则AC +OC 的最小值是 ．解析：将△ABO 绕点A 逆时针旋转60°得△ACD ，并作直线CD ，延长AD 交y 轴于点A '．∵等边△ABC 、等边△AOD ，∴AB ＝AC ，AO ＝AD ，∠BAC ＝∠OAD ＝60°∴∠BAC ﹣∠OAC ＝∠OAD ﹣∠OAC ，∴∠BAO ＝∠CAD在△BAO 和△CAD 中，∴△BAO ≌△CAD （SAS ），∴∠AOB ＝∠ADC ∵∠AOB ＝90° ∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA '＝90°，∠OAD ＝∴∠60°AA 'O ＝30∴°OA ＝AA ' ∴AD ＝OA ＝AA '∴点D 是AA '的中点，∵CD ⊥AD ，∴CD 是AA '的中垂线 ∴AC ＝A 'C ，∴AC +OC ＝A 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、A '三点共线时，A 'C +OC 的值最小，最小值为OA '的长．在R △AOA '中，∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°，OA ＝1，O A '＝OA ＝，∴AC +OC 的最小值为．2、已知：AD ＝2，BD ＝4，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠ADB 变化时，则CD 的最大值 ．解析：把△ADC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，则AE ＝AD ，BE ＝DC ，∠EAD ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝DA ＝2，∠ADE ＝60°，当E 点在直线BD 上时，BE 最大，最大值为2+4＝6，∴CD 的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝6，DA ＝10，则CD 的最小值为E解析：将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝10．∵AE 、AD 、BD 都是定值，∴当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝10﹣5．故选：A ． 4、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ∠+B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．F解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动,将△EFB绕点E旋转45°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CM⊥HG，则CM即为CG的最小值，作EN⊥CM，可知四边形HENM为矩形，则CM＝MN+CN＝HEEC＝126、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF ＝60°，则GB+GC的最小值是AA解析：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG，∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB +GC的最小值；在△Rt EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG ⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF∠+BC＝60°，∴∠EBC＝120°，∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC的长，在△Rt EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．解析：将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°， ∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×＝2，∴BD＝2BO＝4，∴BP＝BD＝．即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（ ）A．5 B．2 C．2 D．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM， ∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为 cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC，∵＝＝，∴△ABD∽△EBC，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC＝cm，∵AC≤AE+EC，∴AC≤．∴AC的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E． 在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE＝AE+AD＝2+，∴DO＝＝＝+， 当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．。