yz
yx 作用在y面内x方 向的剪应力
y
x
如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的 正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应 力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴 的正向时,该应力分量就为负.
X，Y，Z 作用于微元体的体积力
力要平衡！
静 力 平
x
x
xy
y
xz
z
X
0(
2u t2 )
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程（另一组定解方程）
与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有12个未知量
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx 6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
12个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6） ＋变形协调方程（3）
变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
x2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zy zx xy ) 2 2 z
则（2－1） 的两式可以写成矩阵乘法的形式，第一式 可以写作
11
22
L1111
L2211
33
23
L3311 L2311
32
L3211
31 L3111
13
L1311
12
21
L1211
LБайду номын сангаас111
L1122 L2222 L3322 L2322 L3222 L3122 L1322 L1222 L2122
衡 方 程 （
xy
y
yz
Y
0(
2v )
x y z
t 2
）
xz
x
zy
y
x
z
Z
0(
2w t 2 )
3
几何关系(小变形)(6) 变形要协调！
三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变 亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！
x
u x
y
v y
z
w z
zy
w y
v z
zx
w x
u z
yx
z x y z yx
只有三个是独立的，为什么？
以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方 面构成各向异性弹性力学的基本方程,与 各向同性弹性力学的区别在于物理方程. 其它均相同
➢ 弹性介质的本构关系 ➢ 均质弹性体的弹性性质 ➢ 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式) ➢ 弹性对称性——本构关系的简化 ➢ 正交异性材料弹性常数的物理意义
L1133 L2233 L3333 L2333 L3233 L3133 L1333 L1233 L2133
L1123 L2223 L3323 L2323 L3223 L3123 L1323 L1223 L2123
L1132 L2232 L3332 L2332 L3232 L3132 L1332 L1232 L2132
2.1 弹性介质的本构关系
2.1.1 弹性介质的本构关系
L: M : ij Lijkl kl ij M ijkl kl i, j, k,l 1, 2, 3
规定下标i，j与一维指标对应如下次序：
(2－1)
111 22 2 33 3
23 4 32 5 31 6
13 7 12 8 21 9
15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
yxxll
xym ym
xzn yzn
X Y
,已知 ,已知
zxl zym zn Z ,已知
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知
v
v
,已知
w w,已知
第二章 各向异性弹性力学
各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别
差别在于:本构方程 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件
等则完全相同. 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,
这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.
单元体应力及正负号规定
z
y
yx
yz
作用在y面上
y 的正应力
u y
v x
反映出材料
本构方程（6） 的性质！
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx
与
6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程
与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx 6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
11
22
33 23
31 12
11
22
33 23
31 12
相应的，L与M可写成6行6列的对称矩阵
L1111
L2211
L
L3311 L2311
L3111
L1211
L1122 L2222 L3322 L2322 L3122 L1222
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1131 L2231 L3331 L2331 L3231 L3131 L1331 L1231 L2131
L1113 L2213 L3313 L2313 L3213 L3113 L1313 L1213 L2113
L1112 L2212 L3312 L2312 L3212 L3112 L1312 L1212 L2112
L1121 11
L2221
22
L3321 L2321
33 23
L3221
32
L3121 31
L1321
13
L1221 12
L2121
21
记作
L
（2－2）
可以理解为张量等式， ， 理解为应力张量和应变张 量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ， 理解为应力列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩 阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的 对称矩阵。
由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2－2）式
中的列矢量 与 的第4行与第5行相同，第6行与第7行
相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵L与柔度矩阵 M
第4行、列与第5行、列相同，第6行、列与第7行、列相同， 第8行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以把应 力张量 与应 变张量 写成 6个元素的“列矢量”