e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 3jej x3 33
面力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼 上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
➢定义式
F 体力： f lim
V0 V
fi
lim
V 0
Fi V
V F
f1
lim
V 0
F1 V
f2
lim
V 0
F2 V
f3
lim
V 0
F3 V
Chapter 3.1
外力、内力与应力
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
外力、内力与应力
外力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外力
体力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
cos (),e1
()1 ;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
Chapter 3.2
Байду номын сангаас
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ( )g = g g = iji j
斜面剪应力
() n
2 n2
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
Chapter 3.2
柯西公式
()g(e1 1jeje2 2jeje3 3jej) g(ijeiej)
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义
应力张量
ijeiej
Chapter 3.2
柯西公式
() g (ijeiej) g
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
主应力 & 应力不变量
x3
11
2 1
12
22
13
x1
23
32
31 33
( )
x2
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
Chapter 3.3
zy
xx
y x
xz
xy
yz
xz
yy
yy z yz
xx
xy
yx
zy
zx
o
y
zz
x
应力分量的正负号规定
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
y
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
pnx xl yxm zxn pny xyl ym zyn pnz xzl yzm zn
由剪应力互等定理可得：
pnx xl xym xzn pny xyl ym yzn pnz xzl yzm zn
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
l 1 ,m 1 ,n 1 , l 2 ,m 2 ,n 2 , l 3 ,m 3 ,n 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
✓ I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应 力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立 的。 ✓ 通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主
主应力 & 应力不变量
主应力和应力不变量
假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上 的总应力 pn＝ ，亦即n方向截面上剪应力为零。
则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为
p nx l p ny m p nz n
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
对斜面BCD运用柯西公式，可得：
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e 1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：
V
1 3
dhdS
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x1
x3
图2-4
( ) ( )3
x2
( )2
()1
Chapter 3.2
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
1，2，3，即为该点的三个主应力。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
若将一个根代入如下方程组：
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：
主应力 & 应力不变量
➢正交性 • 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； • 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作 用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任 选两个相互正交的方向作为主方向； • 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交 的方向都可作为主方向。
( ) ( )3
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
x2
( )2
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
x1
图2-4
()1
第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以
略去。可得：
()(g e1)(1)(g e2)(2)(g e3)(3) g (e1(1)e2 (2)e3(3))
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
n=g g = ijij
=11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
Chapter 3.3
正六面体微元: 外法线与
坐标轴同向的三个面称
为正面，记为dSi，它们
的单位法向矢量为i＝ei， z
ei是沿坐标轴的单位矢量； o
y
另三个外法线与坐标轴
x
反向的面元称为负面。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
( )
yz
yy
z
yx
o
y
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力
➢ 应力矢量
S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( )
lim
S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。
对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
pnx xl xymxzn
p nx l
pny xyl ymyzn (1) p n y m ( 2 )
pnz xzl yzmzn
p nz n
由(1)和(2)式得：
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
Chapter 3.3
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的大小
()
22 2
()1
()2
()3
1/2
1/2
()i ()i
k ki l li
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的方向
n
( )
即
32
即：
(i) ijej
31
e3 11
13 12
e2 e1
23 22
21 x2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e112e2 13e3 1jej (2) 21e122e2 23e3 2jej (3) 31e132e2 33e3 3jej
共出现九个应力分量：
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。