章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫作相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：对A ，方向相同或相反的非零向量是平行向量，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B. ★答案★：B2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆解析：由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线． ★答案★：B3．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A . 23B. 13C ．－13D ．－23解析：∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.★答案★：C4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，( a ＋λb )∥c 则λ＝( ) A.14 B.12 C ． 1D ．2解析：可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.★答案★：B5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 B ．重心 内心 C ．外心 重心D ．外心 内心解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC 边的中的点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心． ★答案★：C6．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈(π2，π)，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B.π2＋θC.3π2－θ D ．θ解析：设a 与b 的夹角为α，a·b ＝cos θ×0＋sin θ×(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，∴cos α＝a·b|a ||b |＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α∈[π2，π]， ∴y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴α＝3π2－θ，故选C.★答案★：C7．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－32解析：由平面向量的数量积的定义知， a·b ＋b·c ＋c·a ＝|a |·|b |cos(π－C )＋ |b |·|c |cos(π－A )＋|c |·|a |cos(π－B ) ＝cos(π－C )＋cos(π－A )＋cos(π－B ) ＝－cos C －cos A －cos B ＝－3cos 60°＝－32.故应选D. ★答案★：D8．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，∴a ⊥b.如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.★答案★：B9．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定解析：∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． ★答案★：C10．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B.54 C.109D.158解析：依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →)＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. ★答案★：A11．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )，∴|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，∴|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a ||c |＝－323×1＝－32，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.★答案★：D12．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,0≤y ≤1，动点P 的轨迹所覆盖的面积为( ) A.103 6 B.53 6 C.103D.203解析：如图，∵OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,0≤y ≤1， ∴动点P 的轨迹所覆盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行 四边形OAMP ，则动点P 的轨迹所覆盖的面积S ＝AB ×r ， r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，∴BC 2→＝(AC →－AB →)2， 即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ， 由已知得72＝62＋|AB →|2－2×6·|AB →|×15，∴5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，∴|AB →|＝5.∴S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和， ∴S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66，∴r ＝263，所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝103 6.★答案★：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把★答案★填在题中的横线上) 13．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线，∴－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. ★答案★：－214.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：∵AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b ∵μ＋μ2＝1，解得μ＝23.∴AO →＝23a ＋13b.★答案★：23a ＋13b15．已知两点A (－1,0)，B (－1，3)．O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________.解析：由题意，得OC →＝－3(－1,0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，∵∠AOC ＝120°，∴OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12， 即3－λ(3－λ)2＋3λ2＝12，解得λ＝32.★答案★：3216. 若将向量a ＝(1,2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )，则|b |＝|a |＝5， a·b ＝|a ||b |·cos π4＝5×5×22＝522，即x 2＋y 2＝5，又a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)． 故b ＝⎝⎛⎭⎫－22，322. ★答案★：⎝⎛⎭⎫－22，322 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ， AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点， 已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示 DE →，CE →，MN →.解析：由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b.MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b.18．(12分)已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． 因为AE →＝13AC →，所以(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23， 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23， 又因为83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，所以EF →∥AB →. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解析：(1)由a ＝(1,2)，得|a |＝12＋22＝5， 又|c |＝25，所以|c |＝2|a |.又因为c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)因为a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋3a·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a ||b |＝－1.又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴ (OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2. ∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝(OP 2→－OP 1→)2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是正三角形．21．(13分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析：(1)证明：由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2， 整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b ＝0，因此a ⊥b.(2)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，①sin α＋sin β＝1，②又0<β<α<π，由①，有cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， 代入②，得sin α＋sin(π－α)＝1， 所以sin α＝12，得α＝π6，或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.综上，α＝5π6，β＝π6为所求．22.(13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点， 若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →并判断 OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是 AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？ 请证明你的结论．解析：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b.同理OQ →＝13a ＋23b.OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1nb ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，……因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.。