平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)
表示.
x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替 x2同样Δy=f(x2)-f(x1)
y f (x2 ) f ( x1)
此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v
趋近于确定值– 13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时
速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 t的0 瞬时速
度为 lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
探究: 运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t=–0.01时, v 13.051
当△t=0.01时, v 13.149
当△t=–0.001时, v 13.0951
当△t=0.001时, v 13.104 9
例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程 问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问 题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关， 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间.已知起跳 ts后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
x
x2 x1
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
直线AB的斜率
A
x概念
在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员 在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
当△t=–0.000 1时, v 13.099 51 当△t=0.000 1时,v 13.100 49
当△t=–0.000 01时, v 13.099 951 当△t=0.000 01时,v 13.100 049
当△t=0.000 001时,
当△t=–0.000 001时,v 13.099 995 1 v 13.100 004 9
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解： v h t
h(2 t) h(2) 13.1 4.9t t
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
o
t
思考：
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49
h( 65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在
这段时间里的运动状态.
现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越
来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数
关系是 V (r) 4 r3
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V
)
3
3V
4
我们来分析一下:
3V r(V ) 3
4
当V从0增加到1L时,气球半径增加了r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。
背景介绍
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现， 此后，微积分得到了广泛应用。
h t 4.9t 2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他 距水面的最大 高度是多少?
1.了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵. 2.导数概念的实际背景，导数的思想及其 内涵.（重点）
探究点1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发
1 0
当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
21
显然 0.62>0.16
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
解析： r(V2 ) r(V1)
V2 V1
问题2 高台跳水
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h 13.1 4.9t t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于 一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,
平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的
高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：
秒）存在函数关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间
段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?
o
t
请计算0 t 0.5和1 t 2时间里的平均速度v :
解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 h