3.变式 y f(x2)f(x1) f(x1x)f(x1)
x
x2 x1
x
变化率问题
9
观察函数f(x)的图象平均变化率 y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
表示什么?
y f(x2) f(x2)-f(线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
变化率问题
10
【例1】（1）求 y x2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率．
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几
何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成
为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的
应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，
天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连
第1章 导数及应用
1.1.1 变化率问题
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤.
应用
求函数在某区间上的平均 变化率
求函数在某点附近的平均 变化率
变化率问题
2
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研 讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识, 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
所以割线 PQ 的斜率为 y (x)3 3(x)2 3x (x)2 3x 3.
x
x
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k，
则 k y (0.1)2 3 0.1 3 3.31. x
变化率问题
14
变式训练2
已知曲线 y x2 1上两点 A(2,3), A(2 x,3 y). 当 x 1时，割线 AA 斜率是___5____； 当 x 0.1 时，割线 AA 斜率是__4_._1___．
历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生
活中所碰到的那些问题了。
变化率问题
4
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单 位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态?
o
t
变化率问题
2 1
h
o
t
变化率问题
6
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
并思考以下问题：
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况 是运动员仍然运动，并非静止．
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
变化率问题
3
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
5
请计算 0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在 0 t 0.5这 段 时 间 里 ， v h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
0.5 0 在 1 t 2这 段 时 间 里 ， v h (2 ) h (1) 8 .2 (m / s )
所以平均速度为 s 12 12(m / s). t 1
变化率问题
12
变式训练1 （1）求
在到
之间的平均变化率．
（2）如果函数 则 __________．
在区间 上的平均变化率为3，
答案：（1）当自变量从 变到
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
变化率问题
13
【例2】过曲线 y f (x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3， s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24 ，
所以平均速度为 s 24 8(m / s). t 3
②由题意知 t 3 2 1， s s(3) s(2) 2 32 2 3 (2 22 2 2) 12 ，
x
x2 x1
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)
变化率问题
8
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零；
2.若函数f(x)为常函数时，△y=0
解：当自变量从 x0 变到 x0 x 时，函数的平均变化率为
f
( x0
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2x0
x ．
当 x 取定值，x0 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
变化率问题
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(2)已知某质点按规律 s 2t2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做
变化率问题
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【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，
4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天 时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运
动状态.
变化率问题
7
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f (x2) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 y f (x2) f (x1)