{X x j } ，i j 。
6. 设 X,Y 为独立随机变量，X~U(0,1)，Y~B(3,0.5)，试证明
X+Y 是连续型随机变量，并求其概率密度。
7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y
1 2 (1 2 )
2
( x 2 y 2 2 xy )
2015 年测度论部分练习题
1. 设(, F
)是可测空间，是 F 上的有限可加测度，且具有
次可加性，试证明是测度。
2. 已知 C 是上的一个非空集类， A ，令
A C= { A B : B C}， A ( A C)表示 A C 在 A 上生成 的最小代数。证明： （1）A (C)为代数。 （ 2） 令 G={B:B(C), A B A ( A C )},则 G 为代数。 （3） A ( A C) = A (C ) .
4. 设随机变量 X 为[0,1]区间上均匀分布的随机变量，定义随机变量
q x, x q, 函 数 gq ( x) (q x) 令 Y q gq ( X ) ， 求 参 数 x q. 0,
q 0 取何值时， E (Y ) 取得最大值。
5. 设 X 为(,F,P)上的离散型随机变量， P{X xk } pk , k 1, 2, 试证明： { X xi } 。
3. 设 f 为从概率空间 , F,P 到 Borel 可测空间 R, B 上的实可测 函数，表达式为 f ( ) k Ak ，其中 Ai Aj , i j,
k 0 100
100 n 0
An ，求


fdP ；若已知 P( Ak )
100! 1 ，求 f 2 dP . k !(100 k ) ! 2100
,0 1
求 U=X/Y 的概率密度 fU(u)。
（） 8. 设 N~ ， {Yk，k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量序列，
均服从 N( , 2 )，且与 N 独立。 9. 设(U,V)的概率密度
X Yk
k 1
N
，求 D(X)。
eu , u v 0, v 0, g (u, v) 其他， 0, ，
求 E ( {V 1} | U 10) 。 10.设 X~U(0,1),Y 服从参数为 1 的指数分布,X 与 Y 相互独立，求： E[X+Y | X]。