第三章 测 度 论(总授课时数 14学时)教学目的 引进外测度定义,研究其性质,由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ,测度概念抽象,要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾(分割定义域)||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰,1ii i xx x -∆=-,1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义(非负函数):函数图象下方图形的面积。
(2)新的积分(Lebesgue 积分,从分割值域入手)记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<,1i i i y y ξ-≤<,则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题:如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分(外包)(达布上和的极限)||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分(内填)达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1.定义:设 nE R ⊂,称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界:(1)ξ是数集S 的下界,即x S ∀∈,x ξ≤(2)ξ是数集S 的最大下界,即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即:用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数,试证明E 的外测度为0. 证明:由于E 为可数集,故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑,从而*m E ε≤ ,再由ε的任意性知*0m E = 思考:1. 设E 是平面上的有理点全体,则E 的外测度为0提示:找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =+⨯+∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示:找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=,3. 对Lebesgue 外测度,我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体,是否这可数个开区间也覆盖[0,1](除可数个点外).注:对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列(如Cantor 集的余集的构成区间) 2.Lebesgue 外测度的性质(1)非负性:0m E *≥,当E 为空集时,0m E *= (2)单调性:若A B ⊂,则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ,从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少,相应的下确界反而大。
(3)次可数可加性**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑证明:对任意的0ε>,由外测度的定义知,对每个n A 都有 一列开区间(即用一开区间{}nm I 列近似替换n A )12,,,,n n nm I I I 使得1n nm m A I ∞=⊂⋃且**1||2n nm n nm m A I m A ε∞=≤≤+∑从而111n nm n n m A I ∞∞∞===⋃⊂⋃⋃,且**,11111||||()2nmnm n n nn m n m n n II m A m A εε∞∞∞∞∞======≤+≤+∑∑∑∑∑可见**1111()||n nm n n n m n m A I m A ε∞∞∞∞====⋃≤≤+∑∑∑由ε的任意性,即得**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑注:(1)一般证明都是从大的一边开始,因为外测度的定义用的是下确界(2)外测度的次可数可加性的等号即使,A B 不交也可能不成立(反例要用不可测集),但有:若(,)0d A B >则*()()()m A B m A m B **⋃=+当区间i I 的直径很小时候,区间i I 不可能同时含有A ,B 中的点从而把区间列i I 分成两部分,一部分含有A 中的点,一部分含有B 中的点.例2 对任意区间I ,有||m E I *=.思考:书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在? 此例说明Lebesgue 外测度某种程度是区间长度概念的推广例3 Cantor 集的外测度为0.证明:令第n 次等分后留下的闭区间为()1,2,2n n iI i =从而222**()()11112()()||033nnnnn n i i n i i i m P m I I ===⎛⎫≤⋃≤≤=→ ⎪⎝⎭∑∑0m P *=故注:称外测度为0的集合为零集;零集的子集,有限并,可数并仍为零集.——————————————————————————————作业:P75 1, 2练习题1 如果将外测度的定义改为“有界集E 的外测度是包含E 的闭集的测度的下确界.”是否合理?2 设A B ⋂=∅,问在什么条件下有**()m A B m B +=3 对于有界集1E R ⊂,是否必有*m E <+∞?4设E 是直线上的一有界集,0m E *>,则对任意小于m E *的正数c ,恒有子集1E ,使1m E c *=§2 可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义,学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点 学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.本节难点 用Caratheodory 条件验证集合的可测性. 授课时数 4学时——————————————————————————————Lebesgue 外测度(外包)11inf{||:i ii i i m E I E I ∞∞*===⊂⋃∑且I 为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使n A 两两不交) **11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑一、可测集的定义若,nT R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂(Caratheodory 条件),则称E 为Lebesgue 可测集,此时E 的外测度称为E 的测度,记作mE .注:Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法.例1:零集E 必为可测集证明:nT R ∀⊂,有***()()()()()cm T m T E m T E m E m T m T ***≤⋂+⋂≤+≤ 从而*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂即E 为可测集。
二、Lebesgue 可测集的性质(1)集合E 可测(即*,()()ncT R m T m T E m T E **∀⊂=⋂+⋂有,,c A E B E ⇔∀⊂⊂有*()()()m A B m A m B **⋃=+证明:(充分性)n T R ∀⊂,,c A T E B T E =⋂=⋂令即可(必要性)令T A B =⋃(2)若,,i A B A 可测,则下述集合也可测11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==⋃⋂-⋂⋃即可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭; 若A B ⋂=∅,则nT R ∀⊂,有*(())()()m T A B m T A m T B **⋂⋃=⋂+⋂注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若i A 两两不交,则(测度的可数可加性)11()i i i i m A mA ∞∞==⋃=∑.若,A B 可测,,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明:由可测集的定义:n T R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂ 易知c A 可测若A B ⋃可测已证明,则易知()cc cA B A B ⋂=⋃,cA B A B -=⋂也可测。
若当i A 为两两不交时,1i i A ∞=⋃可测已证明,则通过令11n n n i i B A A -==-⋃可把一般情形转化为两两不交的情形,通过取余即可证明1ni i A =⋂下面证明若,A B 可测,则A B ⋃可测 证明:n T R ∀⊂,有*(())(())c m T m T A B m T A B **≤⋂⋃+⋂⋃**((1)(2))((3)(4))m m m m **≤+++*((1)(2))((3)(4))m m *=⋃+⋃(B 可测)*((1)(2)(3)(4))m =⋃⋃⋃(A 可测)*()m T =从而*(())(())cm T m T A B m T A B **=⋂⋃+⋂⋃ 下面证明若i A 两两不交,则11()i ii i m A mA ∞∞==⋃=∑证明:nT R ∀⊂,有*11(()(())nnc i i i i m T m T A m T A **===⋂⋃+⋂⋃*11(()(())nc i i i i m T A m T A ∞*==≥⋂⋃+⋂⋃*11()(())nc i i i i m T A m T A ∞*===⋂+⋂⋃∑从而*11()(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≥⋂+⋂⋃∑*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥⋂⋃+⋂⋃ (*)另外显然有 *11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤⋂⋃+⋂⋃从而1i i A ∞=⋃可测,并用1i i T A ∞==⋃代入(*)式,即得结论例2:设[0,1]中可测集12,,,n A A A 满足条件11ni i mA n =>-∑,则1ni i A =⋂必有正测度。