解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
z
pz
N
x
px
N N
pN py
y
由
可求得：
特例：平面应力状态斜截面应力公式
xy yx y
x
N y
py
px N
x
N
材料力学中斜截面应力公式为
原因？
0 1 2
例2-1
物体中一点的应力张量为
1
2
0
MPa
,
求作用在过此
仍视 为外法线的坐标面为
将该斜截面的全应力分量
投影即得
。
坐标系下的斜截面
分别向
方向
同理
所以 此系二阶张量的本质特征
数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力 状态的9个应力分量 是一个二阶张量，称为应力张量
§2-3 应力状态的主应力和主方向
一. 应力状态的主应力和主方向
定义：1. 当 P 点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面
为什么称为不变量？
求解特征方程得主应力，并按从大到小排序
分别将
回代
（取两式）
联立
求解，得三组方向余弦。即
◆
一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和
第三主应力。
◆
一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第
二和第三主方向。
◆ 若取
为
坐标轴
则
与坐标选取无关
特例1：平面应力状态主应力及主方向
代入特征方程 解方程（若按大小排序其解为）
xyl1 ( y )l2 zyl3 0
xzl1 yzl2 ( z )l3 0
主平面方程
由
x yx
zx
即
xy y zy 0
xz
yz z
展开整理，并考虑
得
称之为P点应力状态的特征方程或主应力方程
其中
也称为体积应力，习惯上用 表示。
分别称之为P点应力状态的第一、第二和第三不变量
z
pz
Z 0
pzdSN xzdSx yzdSy zdSz 0
p jdSN ijdSi 0
所以 p j ijli 即
p jdSN ijlidSN px xl1 yxl2 zxl3 py xyl1 yl2 zyl3
yx xy
x
O y yz zy
xz zx
x px
z
pz xzl1 yzl2 zl3
或
pi jil j
Cauchy定理
N
pN py
y
● 已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三 个（正交）坐标上作用的面力为 px , py , pz
则Cauchy公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系 ——应力边界条件
上的正应力称为 P点的一个主应力。
2. 该斜截面称为P点的一个应力主面（主平面）。
3. 主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。
由定义，在主平面上
则全应力
将其向三个坐标投影
xl1 yxl2 zxl3 l1
由Cauchy公式 ( x )l1 yxl2 zxl3 0
xyl1 yl2 zyl3 l2 xzl1 yzl2 zl3 l3
2 0 1
点的平面 x 3y z 1上的法向和切向应力。
解： 平面外法向的方向余弦
l1
1
12 32 12
1 11
p1 1 jl j
5 11
3
3
l2
12 32 12
11
l3
1
12 32 12
1 11
p2 2 jl j
7 11
p3 3 jl j
3 11
N ijlil j 1 jl1l j 2 jl2l j 3 jl3l j 11l1l1 12l1l2 13l1l3
第二章 应力分析
§2-1 斜截面上的应力 §2-2 应力状态的坐标变换 §2-3 应力状态的主应力和主方向 §2-4 应力张量的分解 §2-5 平衡微分方程 §2-6 应力边界条件
§2-1 斜截面上的应力
z
已知物体在任一点O的六个应力分量 ij , 求经
z
过O点的任一斜截面上的应力
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为
21l2l1 22l2l2 23l2l3 31l3l1 32l3l2 33l3l3
0 3 2 3 18 0 2 0 1 29 11 11 11 11 11 11 11
N
px2
py2
pz2
2 N
25 49 9 292 6 2
11 11 11 121 11
§2-2 应力状态的坐标变换
将
回代
((xyxxyl1xl(12(1))2x1xy()()lll111l((1(33y(2y1))))2y1yyxy)x2)xll1lllll22l223223(((((33(((222111)))))
0
0 0 0 0
联立
解之
l1(ll311)((21) 0 l2(3) 0 l3l(l232)((21) 1
已知一点的应力状态在 Oxyz 坐标系下的应力 张量为 ij，则该点在Oxyz坐标系下（旋转）的应
力张量 ij 有什么关系？
设两坐标系三轴的方向余弦为 定义为
z z z
z
zx xz x
xz x
zy
zy yz
yz
xy
xy
yx
yx
y y y
x
y
x
x
若视 为外法线的坐标面为 则
同理
坐标系下的斜截面