9 z
a (c) 15
解：1）求内力
250 kN
A
C
FS 200 kN
5m 10m
50 kN
M(kN·m)
B
M C 80kN m
FSC 200 kN
2）取a点的应力状态
80 270
x x
120 15
9
z
y
y
x
x
x
x
x
y
f
a
15
120 9
15
Iz
0.12 0.33 12
0.111 0.273 12
第八章 应力状态分析
§8-1 概述
一、应力状态分析 铸铁受扭
F1
F2
五马分尸 q(x)
b
h
z
y
§8-2 平面应力状态分析
一、斜截面上的应力
σy
单元体
σy
σx
σx
τx τy 应力状态
σy
σx τx τy
σy
τα
σα
α τx σx τy
σy
τα
σα
τy
正应力以拉为正，压为负； 切应力以使单元体产生顺时
DA
2
A3 0 C
A1
1 37.5MPa 3 14.2MPa
DB
2 210 105
§8-3 空间应力状态概念
y
y
O
dy
x xy
dxzxzyxxyyzzzxxyyzzyyxzxdzxyzx
x
z
平行于z轴 平行于y轴
平行于x轴 一般
y
y
O
dy
x xy
dxzxzyxxyyzzzxxyyzzyyxzxdzxyzx
σ
τy
D
y
50MPa
80MPa 60MPa
x
2
y
,0
80 50 ,0 2
15,0
R
x
2
y
2
2 x
80
50
2
602
2
=88.5MPa
σy
σα
α τα
σx τx
τy
τ
Dα
τα 2α
σα
o
C
D
y
D
x
σ
利用应力圆求斜截面上的应力时应注意：
1）应力圆的旋转起始线是CDx线，而非σ轴； 2）应力圆上的旋转方向必须与单元体上斜截面的旋转方向一致；
x
σ3
z
σ1
主单元体
σ2
按照主应力代数值的大小，命名三个主应力：
1 2 3
三个均不为零：三向应力状态
两个不为零、一个为零：平面应力状态
一个不为零、两个为零：单向应力状态
σy
τ
D
x
σx τx
o A2
C
τy
D
A1 σ
y
σ2 σ3
τ
σ1 o σ3 A3
τmax σ2 A2
σA11 σ
平行于σ3轴
σx τx τy
不同斜截面上的应力仅与斜截面的倾角α有关，
而与截面的大小和位置无关。
二、应力圆
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
τ
σ
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 x
x
2
y
2
2
τ
x
2
y
2
2 x
σy D
x
σx τx
o
C
n
63.7 63.7 cos(60) (35.7)sin 60 22
16.9MPa
30
63.7 0 2
sin(60)
(35.7) cos(60)
45.4MPa
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
σy
σy
0 －－ 180
90 －－ 90
τx σx τy
2 x
2
x
y
2
x
2
y
2
2 x
D
x
A1 σ
σy
τ
σx τx τy
o A2
D
y
D
x
2α0
C
A1 σ
2 0
arctan
x
2 x
y
例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示， 梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a点处的主 应力。
120 15
270
250 kN
A
C
5m 10m
(a)
B (b)
针旋转趋势为正，反之为负；
τ x 和τy一正一负； α以逆时针为正，顺时针为负；
应力不因分布面积减小而变化，
只能对力列平衡方程，而不 能直接对应力列平衡方程；
σy
τα
σα
α τx σx τy
σy
τα
σα
τy
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
60° τx σx τy
解：1）作应力圆
2）确定应力圆上斜截面的 位置
τ
α=-30 ° 顺时针旋转30 °
D
3）确定斜截面上的应力
y
C
o 60°
30 17MPa σ 30 46MPa
Dα
D
x
σx τx
60° τx σx
30 17MPa 30 46MPa
46MPa
17MPa
17MPa
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号，
2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα
τα
τ α>0
τ α<0
例 ： 图 示 圆 轴 中 ， 已 知 圆 轴 直 径 d=100mm ， 轴 向 拉
力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点 = 30°截面
上的应力。
y
T F
T
y
C
F x x
C
x
x
x
x
y
(a)
(b)
解：取C点的应力状态。
x
F A
500103 π 1002
63.7MPa
4
x
Me WP
7 106 π 1003 16
35.7MPa
x x
y y
x C -30 °
x -30°
x 30°
30
x 0
2
x 0
2
cos
60
y
x sin 60
46MPa
τx σx
τ
90 90
σ
三、主平面和主应力
σy
τ
τx σx τy
o A2
D
y
D
x
C
A1 σ
单元体上切应力为零的斜截面称为主平面， 作用在主平面上的正应力称为主应力； 应力圆上的两个主应力一个是极大值，一个是极小值。
σy
τ
σx τx
o A2
C
τy
D
1
x
y2yx2y2
270
88106 m4
z
f
a
S
* za
0.12 0.0150.15 0.0075
15
256106 m3
a
MC Iz
ya
80106 88106 1012
135 122.7MPa
a
FSC
S
* za
Izd
200103 256106 109 88106 1012 9
64.6MPa
3）作a点的应力圆
σy
τ
Dα
σα
α τα
σx τx
τy
τα 2α
σα
o
C
D
D
x
σ
y
3）应力圆上旋转的角度是单元体上斜截面旋转角度的2倍；
结论：
1）应力圆圆周上的点与单元体的斜截面一一对应；
2）单元体上夹角为α的两个斜截面，在应力圆圆周上对应的点 夹角为2α；反之亦然。
例 已知σx =63.7MPa，τx=35.7MPa，用图解法求图示 斜截面上的应力。
122.7MPa 64.6MPa
/MPa
A3 O
D1(122.7,64.6)
20 A1
C
/MPa
D2(0,-64.6)
3
1
4）求a点的主应力
1 150 MPa 3 27MPa 0 23.2
例 已知受力体内一点受到如图所示应力的作用（单位
为MPa），试用图解法求该点的主应力。
30
20
27.3 2.7