x - y sin 2 + xy cos 2 2
(1)
(2)
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
2
x + y 2 2 - y 2 2 x ( ) + ( ) + xy 2 2 a ( a , a ) x - y 2 2 ( ) + xy 2
与 具有完全一致的形式。这表明，主应力具 角度 0 0 有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋 转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
平面应力状态的三个主应力
2 xy tan 20 x - y 0 + 0 2 x + y x - y + cos 2 - xy sin 2 2 2 x + y x - y 2 2 ＝ + ( ) + xy 2 2 x + y x - y 2 2 ＝ - ( ) + xy 2 2 ＝0
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x + y x - y + cos 2 - xy sin 2 2 2 x - y sin 2 + xy cos 2 2 x - y sin 2 + xy cos 2＝0 2 2 xy tan 20 x - y
max ＝
材料力学
1－ 3
2
应力状态
图解法
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
1、应力圆方程
x + y x - y + cos 2 - xy sin 2 2 2
x + y x - y ( ) cos 2 - xy sin 2 2 2 x - y sin 2 + xy cos 2 2
表示，即
材料力学
1 2 3
§2
平面应力状态分析
应力状态
面内最大切应力
与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋 转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将
x - y sin 2 + xy cos 2 2
对求一次导数，并令其等于零，得到
（ x - y） cos 2 - 2 xy sin 2＝0
应力状态
解析法
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
方向角与应力分量的正负号约定 单元体的局部平衡
平面应力状态中任意方向面上的
正应力与切应力
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
1、正应力正负号约定
x
x
x
拉为正
材料力学
x
压为负
§2
平面应力状态分析
应力状态
切应力正负号约定

xy
1 ＝ 2
xy＝0。
2 - y + 4 xy 2

x
＝
1－ 2
2
这就是Ⅲ组方向面内的最大切应力。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大剪应力
＝
2－ 3
2
＝
1－ 3
2
＝
1－ 2
2
一点应力状态中的最大切应力，必 然是上述三者中最大的，即
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个
相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以
σ 1， σ 2 和 σ 3 表示，且
1 2 3
材料力学
§1
概述
应力状态
主单元体
2
3
1
材料力学
§1
概述
应力状态
定义：
三个主应力σ 1， σ 2 和 σ 3 全部不为零的应力状态
称为三向（空间）应力状态。
切应力xy＝0的方向面，称为主平面，其方向 角用0表示。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态

x + y x - y + cos 2 - xy sin 2 2 2
将上式对 求一次导数，并令其等于零，有 （ x - y） sin 2 - 2 xy cos 2 0 2 xy 由此解出的角度 tan 20 x - y
yx

e

n
xy
a
f
x
x xy
y
y
dA f a
yx


dA· sin
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
dA· cos t
e

n
x
xy a dA
y
yx
f


xy n x yx y
材料力学
(y ,yx)
§2
平面应力状态分析
应力状态
yx
y y

B D A
x
O
C d(y ,yx)
a(x ,xy)

xy
建立坐标系 确定圆心和半径 由面找点
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
3、几种对应关系
EF R sin[ 180 o - ( 2 + 2 0 )] R sin( 2 + 2 0 )
yx
材料力学
使单元体
或其局部顺时 针方向转动为
正；反之为负。
§2
平面应力状态分析
应力状态
角正负号约定
由x正向
t
y

逆时针转到n
正向者为正；
n
x
反之为负。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
2、利用截面法及单元体局部的平衡方程
• 平衡对象——用ef斜截面截取的单元体局部
y
x
e
dA· cos t
§1
概述
P
应力状态
B
A C D
B
C
B、C——单向受力，τ ＝0
D
A——纯剪切， σ ＝0
D——既有 σ ，又有τ
材料力学
§1
概述
应力状态
示例一 F
横截面 F
1
1
1
材料力学
F A
ห้องสมุดไป่ตู้
§1
概述
应力状态
示例二：
F
横截面
l/2
l/2
5 4
3
材料力学
5
横截面
2 1
4 3 2
1
§1
概述
应力状态
5 4
3 2 1
Mz x1 Wz
F 2
横截面
Fl Mz 4
5 4 3 2 1
3
x2
2
1
2
2
3
材料力学
§1
概述
应力状态
三向（空间）应力状态
y
y
yx xy
yz
z
z
zy
zx xz
x
x
材料力学
§1
概述
应力状态
主平面：单元体上切应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力
应力状态
应力状态分析
材料力学
应力状态
§1
概述
材料力学
§1
概述
应力状态
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态。 一点应力状态的描述
• 单元体
d x , dy , dz 0
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对 应点同方位截面上的应力。
材料力学
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应 力和切应力都与σ1无关。因此，当研究平行于 σ1的这 一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一 平面应力状态：
σx=σ3,σ y=σ 2，τ
xy＝0
1 ＝ 2

x
2 - y + 4 xy 2

x
2 - y + 4 xy 2
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
t
dA· sin
平衡方程——
材料力学
F
n
0 及 Ft 0
§2
平面应力状态分析
应力状态
F 0
n
dA - (dA cos ) cos+ (dA cos ) sin xy
+ yx (dA sin ) cos - (dA sin ) sin 0
x xy yx
- (dA sin ) sin - (dA sin ) cos 0
dA· cos t
e

n
x - y sin 2 + xy cos 2 2
y
x
xy a dA
y
材料力学
xy
f


xy n x yx y