按f X (x), fY ( y)的定义知， 0 z y 1且 y 0
P(Y 8) P(X 3) 0.4
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例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由
于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X
的概率密度为
2x, 0 x 1
fX (x)
0,
其他
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
解：分别记X，Y的分布函数为 FX (x), FY ( y)
fZ z fX x * fY y
fห้องสมุดไป่ตู้Z z f X z y fY ydy
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例5. 设随机变量X与Y相互独立，概率密y度分别是
1, 0 x 1
e y , y 0
f X (x) 0, x 0
;
fY ( y)
0,
; y 0O
1
z
求Z=X+Y的概率密度。
解: 利用卷积公式 f Z z f X z y fY ydy
当y 0时，FY（y） P(Y y) P(2ln X y)
y
y
P(X e 2 ) 1 P(X e 2 )
y
1 FX (e 2 )
上式对y求导数，得Y的概率密度为
fY
(
y)
FY (
y)
FX
0,
(e
y
2 )(e
y
y
2 )
0
1 2
e
y 2
f
X
(e
y 2
)
1
e
y 2
,
2
y0
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fZ z fX x fY z xdx fX z y fY ydy
我们称上式 为函数 f X x与 fY y的卷积，记作
fX x * fY y
因此，我们有以下结论：
如果随机变量X 与Y 相互独立，则它们的和
Z X Y的密度函数等于X 与Y 密度函数的
卷积：
fZ z f X x fY z xdx
5
二、多维随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函
数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的 寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。 我们想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
Z min(X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
1 y)
y 1) 3
y 2 2
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例3. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，
求随机变量Y=X2的概率密度。 解: 当X在区间[-1,2]上取值时,Y在[0,1]或[1,4]取值 由于y=x2不是单调的，
(1)当0 y 1时，有
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
fY
(
y
)
FY
(
y)
FX
(ln
y)(ln
y)
1 y
f X (ln
y)
1, y
1
y
e
0, y 1, 或 y e
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，
(2)求Y=-2lnX的概率密度。
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在
(0，+∞)上取值。当y 0时，FY（y） P(Y y) 0;
f Z z FZ z
f x， z xdx
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由于 X , Y 的对称性可得
f Z z f z y， ydy
特别地，如果随机变量X 与Y 相互独立，则有
f x， y f X x fY y.
此时，我们有
或者
f Z z f X x fY z xdx
f Z z f X z y fY ydy
y y
13dx
2 3
y
(2)当1 y 4时，有
1 ( y 1) 3
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
1
y
P(
y X 1) P(1 X
y)
0dx
y
1
13dx
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (1)求随机变量Y=eX的概率密度;
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)
上取值。 当y 1时，FY（y） P(Y y) 0;
当1 y e时，FY（y） P(Y y) P(e X y)
P(X ln y) FX (ln y) 当y e时，FY（y） P(Y y) 1
上式对y求导数，得Y的概率密度为
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 3 pk 0.3 0.2 0.1 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8
P(Y 0) P(X 1) 0.2
P(Y 3) P(X 2) P(X 2) 0.3 0.1 0.4
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1.一般情形问题
已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。
解题步骤：
先求随机变量函数 Z gX ,Y 的分布函数 FZ z， 再求随机变量函数Z gX ,Y 的密度函数
当X [0,1]时，Y [1,2]
当y 1时，FY ( y) P(Y y) 0
f将 当 当Y (FyyY)(1y2F时)关 Y，y(于y)FyY求 2(f时yX导)(，y数31，F1)Y(得(y3yY)1的) 概PP(率(2XY2(密(yy3度91yy为0)310),13)其,1，，其 )P他1(1他 F3XXy(
fZ z FZz
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2）连续型随机变量和的分布
设 X ,Y 是二维连续型随机变量,其联合密度函数
为 f x, y ，下面计算 Z X Y 的密度函数 fZ z．
首先计算随机变量Z X Y 的分布函数 FZ z．
FZ z PZ z PX Y z
f x， ydxdy x yz
zx
dx f x， ydy
y x
O
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zx
作变换：y u x, 则有 Fz (z) dx f x， ydy
z
FZ z dx f x， u xdu
z
du f x， u xdx
由分布函数与密度函数之间的关系，上式对z 求 导，可得Z X Y 的密度函数为