第 1 页 共 1 页 第十一讲 十字相乘法

探究解决：

（1）请直接填写下列结果

（x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ；

（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。

把上述式子左右对调，你有什么发现？

二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

（4）归纳：abxbax)(2（ ）（ ）

将x2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？

x2 +3x +2

2x + x = 3x

例 x2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：

①竖分二次项与常数项

②交叉相乘，和相加

③检验确定，横写因式

-x + 7x = 6x

例1. 用十字相乘法分解因式：

（1）x2-8x+15 （2）x2+4x+3 （3）-x2-6x+16

练习

1．把下列各式分解因式：

（1）1522xx= ； (2) 1032xx 。

（3） x2-2x-3= 。

2．若652mm(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 或 。

3. 分解因式(1)24142xx (2)36152aa (3)542xx

(4)22xx (5)1522yy (6)24102xx xx12x7x1

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例2．已知，如图，现有aa、bb的正方形纸片和ab的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至

少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图

的痕迹），使拼出的矩形面积为22252aabb，并标出此矩形的长和宽。

反馈练习

1．若652mm(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 或 ．

2．3522xx(x－3) (__________)．

3.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C类卡片 张．

4．分解因式：

（1）22157xx； (2) 2384aa； （3）1522xx

(4) 2576xx (5) 261110yy （6）1032xx

5．先阅读学习，再求解问题： A a

a B b

b C b

a

第3题图

第 3 页 共 3 页 材料：解方程：1032xx0。

解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0

所以x+5=0或 x-2=0

由x+5=0得x=-5

由x-2=0得x=2

所以x=-5或 x=2为原方程的解。

问题：解方程：x2-2x=3。

巩固训练

1.下列各式分解因式错误的是 （ ）

A. )3)(2(652xxxx

B. )1)(6(652xxxx

C. )1)(6(652xxxx

D. )1)(6(652xxxx

2.（1）)6)(3(92xxmxx,则m _.

（2）)2)(1(2xxnmxx,则m _, n .

（3）))((672bxaxxx,则a _, b .

3．运用十字相乘法因式分解．

(1) 2273xx (2) 2675xx (3) 261110yy

(4)22157xx (5) 2384aa (6) 2576xx

(7) 22568xxyy （8）232xx （9） 672xx

（10）22xx （11） 1522xx

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（11）x2-8x+15 （12） x2-2x-3

(13) x2+7x+12 (14) x2-8x+12 (15) x2-x-12 (16) x2+4x-12

(17) y2+23y+22 (18) x2-8x-20 (19) x2+9x y-36 y2

（20）1072xx （21）3522xx (22) a2+6ab+5 b2

（23）x2+5x+6 （24）x2-5x+6 (25) x2-5x-6 (26)x2+5x-6

二、公式法综合

1.将下列多项式分解因式.

(1)15a （2）10044a （3）42242bbaa

2 将下列多项式分解因式

(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)

归纳：综合运用提公因式法与运用公式法的一般步骤：

（1） （2） （3）

三、例题教学

例1. 把下列各式分解因式.

第 5 页 共 5 页 （1）164a （2）4224167281yyxx

例2.求下列代数式的值.

(1)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.

（2）已知2x＋y=6，x－3y=1，求：14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.

四、反馈练习

1．多项式①165x－x ②2x1－4(x－1)＋4 ③422x14xx14x

④－42x－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是 （ ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

2．无论x，y取何值，整式22x4xy6y13总是 （ ）

A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数

3.把下列各式分解因式.

(1)3ax2－3ay4 （2）x4－81 （3）x4－2x2＋1 （4）－2xy－x2－y2

（5）3ax2＋6axy＋3ay2 （6）x4－8x2y2＋16y4 (7)(x2＋2x)2－(2x＋4)2

（8）80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (9)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2 （10）(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1

4.已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.

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★5.试说明对任意整数n，22n7n5都能被24整除.