上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设实数a 满足2log 4a =，则log 2a =_____2．方程21416x +=的解集为______3．若两个集合{}{}21,,a a ，满足{}{}{}21,1,a a a ⋃=，则实数a =____4．设0x >，则______5．如果函数()22279919mm y m m x --=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.6．已知函数()y f x =是奇函数,若当0x >时，()lg f x x x =+，则当0x <时，()f x =_____ 7．设常数b R ∈，若函数2(0)by x x x=+>在(0,4]上是减函数，在[4,)+∞上是增函数，则b =_______8．函数2()22f x x x =-+在(,1)-∞上的反函数1()f x -=________9．设1x <，则211x x x -+-的值域为_________ 10．若关于x 的方程4(3)210x x a -++=有实数解，则实数a 的取值范围是________ 11．若不等式2240ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使得()f x ：（Ⅰ）()f x 在[],m n 上是单调函数；（Ⅱ）()f x 在[],m n 上的值域是[]2,2m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①()2f x x =； ②()1f x x=；③()1f x x x=+； ④()231x f x x =+．二、单选题 13．1x >是2x >的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．已知0a b c ++=，且a b c >>，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ab cb >B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b > 15．若直角坐标平面内两点,A B 满足：①,A B 均在函数()f x 的图像上②,A B 关于原点对称则称点对[,]A B 为函数()f x 的一对“匹配点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视作同一对） 若函数122log ,0()4,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩，则此函数的“匹配点对”共有（ ）对A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题16．已知函数()1lg 1x f x x -=+ （1）求函数()f x 的定义域．（2）若函数()0f x <，求x 的取值范围．17．设常数0a ≠，函数()12lg 13x a f x x a+-=++． （1）当1a =时，判断并证明函数()y f x =在()1,+∞上的单调性．（2）是否存在实数a ，使函数()y f x =为奇函数或偶函数？若存在，求出a 的值，并判断相应的()y f x =的奇偶性；若不存在，说明理由．18．设常数a R ∈，函数1()421x x f x a +=-⋅+，[]1,2x ∈．（1）当2a =时，求函数()()1g x f x =的值域． （2）若函数()f x 的最小值为0,求a 的值．19．已知函数()2f x x x a x =-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求a 的取值范围．（2）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x bf a =有三个不相同的实数解，求实数b 的取值范围．参考答案1．14【分析】 根据换底公式，得到21log 4log 2==a a ，即可得出结果. 【详解】 因为2lg 1log 4lg 2log 2===a a a ，所以1log 24=a . 故答案为14【点睛】 本题主要考查对数的运算，熟记换底公式即可，属于基础题型.2．{}1,1-【分析】先由21416x +=得21244+=x ，得出一元二次方程，求解，即可得出结果.【详解】因为21416x +=，所以21244+=x，即212+=x ，解得：1x =±； 即方程21416x +=的解集为{}1,1-.故答案为：{}1,1-【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则即可，属于基础题型.3．0【分析】先由题意得到1a ≠，推出21≠a ，进而得到2a a =，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}{}21,1,a a a ⋃=，所以1a ≠，因此21≠a ；所以只需2a a =，解得0a =或1a =（舍），因此0a =.故答案为：0【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数的问题，熟记元素与集合的关系，以及集合并集的概念即可，属于基础题型.4．14【分析】先由题意求出102x <≤，再由基本不等式，得到22141422+-≤⋅x x ，即可得出结果.【详解】由2140-≥x 得1122x -≤≤；又0x >，所以102x <≤再由2211414122224+-=⋅≤⋅=x x x ，当且仅当2x =10,42⎛⎤=⎥⎝⎦x 时，等号成立.所以14. 故答案为14 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.5．3【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=,所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.综上所述:3m =.故答案为3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.6．lg()--x x【分析】若0x <，则0x ->，根据已知解析式，得到()lg()-=-+-f x x x ，再根据函数奇偶性，即可得出结果.【详解】若0x <，则0x ->，又当0x >时，()lg f x x x =+，所以()lg()-=-+-f x x x ，因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()lg()-=-+-f x x x ，即()lg()=--f x x x .故答案为：lg()--x x【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.7．4【分析】 令2()=+b f x x x ，根据函数2()=+bf x x x的单调性，结合单调性的定义，分别得到216≥b ，216≤b ，进而可得出结果.【详解】 令2()=+b f x x x ，任取1204<<≤x x ，因为函数2()(0)=+>bf x x x x在(0,4]上是减函数， 所以()1212121212222()()10⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b b b f x f x x x x x x x x x ， 因此12210-<bx x ，即122>b x x ，又1216<x x ，所以216≥b ； 任取124≤<x x ，因为函数2()(0)=+>bf x x x x在[4,)+∞上是增函数， 所以()1212121212222()()10⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b b b f x f x x x x x x x x x ， 因此12210->bx x ，即122<b x x ，又1216>x x ，所以216≤b ， 综上216=b ，所以4b =.故答案为：4【点睛】本题主要考查由函数单调性求参数，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型. 8．11)->x【分析】先令222y x x -=+，由题意，得到1y >，化222y x x -=+为2220-+-=x x y ，用求根公式，即可求出结果.【详解】令222y x x -=+，因(,1)x ∈-∞， 所以222y x x -=+单调递减，且2221221=-+>-+=y x x ；由222y x x -=+得2220-+-=x x y ，解得：1==±x 1x <，所以1x =因此11()-=f x 1x >；故答案为11)>x【点睛】本题主要考查求反函数，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.9．(],1-∞-【分析】 先将原式化为()211111111-+⎡⎤=+=--++⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果.【详解】因为1x <，所以10x -<， 因此()211111211111-+⎡⎤=+=--++≤-+=-⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ， 当且仅当111x x-=-，即0x =时，等号成立； 所以211x x x -+-的值域为：(],1-∞-； 故答案为(],1-∞-【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.10．1a ≥-【分析】 先由原方程得到413222-++==+x x x x a ，由基本不等式求出22x x -+的最小值，根据题意得到()min 322-≥++x x a ，进而可求出结果.【详解】 因为4(3)210x xa -++=可化为413222-++==+x x x x a ，又222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时，取等号；又关于x 的方程4(3)210x xa -++=有实数解，所以只需()min 3222-+≥+=x x a ，解得：1a ≥-.故答案为：1a ≥-【点睛】 本题主要考查根据方程有实根求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，会根据基本不等式求最值即可，属于常考题型.11．(]4,0-；【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为40-<，显然成立；（2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；（3）当0a <时，二次函数开口向下，且与x 轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．【详解】解：（1）当0a =时，得到40-<，显然不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数224y ax ax =+-开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R不可能．（3）当0a <时，二次函数224y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，即△24160a a =+<，即(4)0a a +<，解得40a ；综上，a 的取值范围为(]4,0-．故答案为：(]4,0-．【点睛】本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．①②④【分析】 函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()()()2222f m m f m n f n n f n m ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（Ⅰ）()f x 在[m ，]n 内是单调函数，（Ⅱ）()()()()2222f m m f m n f n n f n m ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或， 对①，2()f x x =，若存在“倍值区间” [],m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n ⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间” [0,2]； 对②，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[],m n ，当0x >时，121122n m mn m n⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，故只需12mn =即可，故存在； 对③，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n +=⇒-+=， 2210n mn -+=22m n ⇒=不符题意； 若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+= ，22121n n m n n +=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对④，233()11x f x x x x==++，易得()f x 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，)+∞上单调递减，若存在“倍值区间” 2233[,][0,1],2,211m n m n m n m n ⊆==++，0m ∴=，2n =，即存在“倍值区间” [0； 故答案为：①②④.【点睛】 本题考查“倍值区间”的定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及函数的单调性和值域问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.13．B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的性质判断即可.【详解】由题 “1x >”不能推出“2x >”,但“2x >”能推出“1x >”.故1x >是2x >的必要但不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判断,属于基础题型.14．C【分析】利用不等式的性质可得出0a >，0c <，利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项的正误.【详解】a b c >>，则03a b c a =++<，可得0a >，同理可得0c <，但b 的符号不确定. 对于A 选项，若0b =，则ab bc =，A 选项错误；对于B 选项，a b >，0c <，所以ac bc <，B 选项错误； 对于C 选项，0a >，b c >，ab ac ∴>，C 选项正确；对于D 选项，若0b =，则a b c b =，D 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题. 15．B【分析】先由题意，得到函数24,0=--<y x x x 关于原点对称的图像解析式为：24,0=->y x x x ，将“匹配点对”的个数，转化为()24,0=->y x x x 与12log y x =交点的个数，结合图像，即可得出结果.【详解】由题意，易得：函数24,0=--<y x x x 关于原点对称的图像解析式为：24,0=->y x x x ，因此，()24,0=->y x x x 与12log y x =交点的个数，即是函数122log ,0()4,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩“匹配点对”的个数，在同一直角坐标系中画出两函数图像，如图所示：由图像可得：交点个数是1个，即此函数的“匹配点对”共有1对.故选B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型. 16．（1）(1,1)-；（2）01x <<.【分析】（1）根据对数函数的定义求出函数的定义域即可；（2）根据对数函数的性质求出不等式的解集即可．【详解】（1）由题意得：101x x->+，解得：11x -<<， 故函数的定义域是(1,1)-.（2）若函数()0f x <，即1()01x f x lgx -=<+，即1011x x-<<+，解得：01x <<． ∴x 得取值范围是01x <<.【点睛】本题考查具体函数的定义域求解、对数不等式的求解，考查运算求解能力属于基础题． 17．（1）证明见解析；（2）2a =-.【分析】（1）当1a =时，1()4x f x lg x -=+，利用函数单调性的定义，即可证明结论； （2）假设存在，利用奇函数的定义，即可得出结论．【详解】（1）当1a =时，1()4x f x lg x -=+， 任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， ∴12121212121212122144()()4411144441lg lg lg l f x x x x x x x x x f x x x x x x g x x x ---+-=⋅=+++-+---=+--， ∵12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，∴124x x -21(4)x x --=125()0x x -<，∴124x x -<214x x -∴1212122104444x x x x x x x x <+--<+--，∴12121221014444x x x x x x x x +--<--<+， ∴1212122104444x x x x x l x x x g +-+--<-，∴1212()()0()()x x x f f f x f -<⇒<， ∴函数()y f x =在(1,)+∞上单调递增；（2）∵12()13x a f x lg x a -+--=-++，若()()0f x f x ，可得(12)(12)(13)(13)x a x a x a x a -++-=--++，∴2222(12)(13)x a x a --=--，解得2a =-，经验证2a =-，使函数()y f x =是奇函数．∴存在2a =-，使函数()y f x =是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的定义证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．18．（1）1(,][1,)3-∞-⋃+∞；（2）54a =. 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数()f x 的单调区间，从而求出()f x 的值域，再求出()g x 的值域即可；（2）通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质求出()f x 的最小值，求出a 的值即可．【详解】（1）2a =时，22()(2)421(22)3x x x f x =-⋅+=--，令2x t =，[1x ∈，2]，2[2x ∴∈，4]，即[2t ∈，4]，则2()(2)3f t t =--，[2t ∈，4]，∵()f t 在[2，4]递增，且()0f t ≠，∴()[3,0)(0,1]f t ∈-⋃，故()g x 的值域是1(,][1,)3-∞-⋃+∞.（2）函数122()421(2)1x x x f x a a a +=-⋅+=-+-，[1x ∈，2]， 令2x t =，[1x ∈，2]，2[2x ∴∈，4]，即[2t ∈，4]，故22()()1f t t a a =-+-，[2t ∈，4]，当2a 时，()f t 在[2，4]递增，()f t 的最小值是22(2)(2)10f a a =-+-=， 解得：54a =，符合题意； 当24a <<时，()f t 在[2，)a 递减，在(a ，4]递增，故()f t 的最小值是2()10f a a =-=，解得：1a =±，不合题意；当4a 时，()f t 在[2，4]递减，()f t 的最小值是22(4)(4)10f a a =-+-=， 解得：178a =，不合题意； 综上所述：54a =．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数的单调性和最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对称轴和区间位置关系的讨论.19．（1）22a -；（2）9(1,)8.【分析】 （1）把函数()f x 写成分段函数的形式，再利用分段函数的单调性得不等式组2222a a a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解不等式组，即可求a 的取值范围．（2）将a 分22a -和24a <两种情况分类讨论，求出函数单调区间，从而得到关于,a b 的不等式，再将问题转化为有解问题，即可得答案．【详解】（1）22(2),()2(2),x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-=-+=⎨-++<⎩， 由()f x 在R 上是增函数，则2222a a a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解得：22a -， ∴a 的取值范围为：22a -.（2）①当22a -时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，关于x 的方程()()f x bf a =不可能有三个不相等的实数解． ②当24a <时，由（1）知()f x 在(-∞，2]2a +和[a ，)+∞上分别是增函数， 在2[2a +，]a 上是减函数， 当且仅当2()()()2a f ab f a f +<⋅<，即2(2)2()4a ab f a +<⋅<时，方程()()f x b f a =⋅有三个不相等的实数解．即2(2)141(4)88ab aa a+<<=++，在(2a∈，4]有解，令4()g a aa=+，()g a在(2a∈，4]时是增函数，则()(4,5]g a∈，∴149 (4)(1,] 88aa++∈．∴实数b的取值范围是9 (1,)8．【点睛】本题考查函数的最值、单调性的综合运用、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。