2019-2020学年上海市控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知常数Q α∈，如图为幂函数y x α=的图象，则α的值可以是( )A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】C【解析】根据幂函数的定义域，对称性和单调性，逐项验证，即可求解. 【详解】由图象可得函数的定义域为{|0}x x ≠，选项,,A B D 不满足； 选项C ，当23α=-，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征. 故选:C. 【点睛】本题考查幂函数图象识别，考查幂函数的性质，属于基础题. 2．设集合()(){}120A x x x =+-≥，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】化简集合,A B ，确定二者是否有包含关系，即可求解. 【详解】()(){}120{|1A x x x x x =+-≥=≤-或2}x ≥，20{|11x B x x x x ⎧⎫-=≥=<-⎨⎬+⎩⎭或2}x ≥，B A ，“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件. 故选:B.【点睛】本题考查由集合间的关系，判断必要不充分条件，属于基础题. 3．设集合(){},,,1,1,1yz x S x y z xy z x y z ===>>>且x y z ≠≠，则S 中( )A ．元素个数为0B ．元素个数为3C ．元素个数为6D ．含有无穷个元素【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数单调性，可得不存在满足条件,,x y z ，即可得出结果. 【详解】x y z ≠≠，不妨设1,y y z x y z x y y <<<<<，所以不存在,,x y z ，使得y zx y =成立，所以集合S 元素为0个. 故选:A. 【点睛】本题以集合元素为背景，考查幂函数、指数函数的单调性，考查推理能力，属于基础题. 4．若函数()f x 的图象上存在关于直线y x =对称的不同两点，则称()f x 具有性质P .已知,a b 为常数，函数()2g x a x x =+，()21bxh x x =+，对于命题：①存在a R +∈，使得()g x 具有性质P ；②存在b R +∈，使得()h x 具有性质P ，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】通过函数()2g x ax x=+的图象与y x =位置关系，可得出()g x 是否具有性质P ，对于函数()h x ，设()y h x =通过求解方程()h y x =，判断方程是否存在y x ≠的解，即可得出结论. 【详解】()2g x ax x=+，a R +∈，定义域为{|0}x x ≠，当0,()2ax g x x x x>=+>恒成立， ()g x 第一象限图象恒在直线y x =上方，因此0,()x g x >不存在不同的两点关于图像y x =对称， 因为()g x 是奇函数，由图象的对称性，0,()x g x <不存在不同的两点关于图像y x =对称，所以()g x 不具有性质P ；()21bxh x x =+是奇函数，只需判断0x >时，是否具有性质P 即可， 设()21b y h x x x ==+，令22222221(),,011(1)b xby x h y x x x b x y x +===>+++Q ， 222222222(1)1,(1)(1)b x x b b x x +=+=++，当01b <<时，方程无解， 当1b ≥，21,1x b x b =-=-（舍去负值）， 此时1()111b b h x b x b -==-=-+，以方程的解为坐标的点在y x =上，即方程()h y x =不存在y x ≠的解，所以不满足题意中存在不同的两点. 所以()h x 不具有性质P . 故选:B. 【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的性质，解决问题可通过几何方法转化为函数的图象特征，或代数方法转化为方程零点问题，属于较难题.二、填空题5．已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B ⋃= ． 【答案】{}1,2,3【解析】试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合，求出.【考点】1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.6．设函数()1f x x x =+，()1g x x x +，则函数()()⋅f x g x 的定义域为__________. 【答案】[)0,+∞【解析】根据函数的限制条件，分别求出(),()f x g x 的定义域，交集即为所求 【详解】(),()f x g x 定义域均满足10x x +≥⎧⎨≥⎩，解0x ≥，所以()()⋅f x g x 的定义域为[)0,+∞. 故答案为:[)0,+∞. 【点睛】本题考查函数定义域，注意不要求()()⋅f x g x 化简后的定义域，属于基础题. 7．已知函数()f x 满足f x x =，则()4f =__________.【答案】16【解析】4x =，求出x ，根据对应法则，即可求解. 【详解】4,16,(4)16x x f ==∴=. 故答案为:16. 【点睛】本题考查复合函数求函数值，注意换元法的应用，或求出()f x 的解析式，属于基础题. 8．将函数()3f x x =的图象向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图象，则()2g =__________.【答案】0【解析】根据图像平移关系，求出()g x ，即可求解. 【详解】将函数()3f x x =的图象向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图象，3()(2)(2),(2)0g x f x x g =-=-∴=；故答案为:0. 【点睛】本题考查函数左右平移关系，掌握函数解析式平移前后“左加右减”原则，或者利用平移前后点的关系直接求解，属于基础题.9．已知常数a R ∈，设集合[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，若B A ⊆，则a 的最大值为__________. 【答案】1-【解析】根据集合间的关系，利用数轴，即可求解. 【详解】[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，,1B A a ⊆≤-.故答案为:1-. 【点睛】本题考查集合的关系求参数，属于基础题. 10．设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1fx -，若()13f a -=，则a =__________.【答案】3 【解析】由()13f a -=，可得(3)a f =，即可求解.【详解】函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，()13f a -=，则2(3)log 83a f ===. 故答案为:3. 【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.11．已知常数a R +∈，函数()212x x f x a-=+为奇函数，则a =__________.【答案】1【解析】根据奇函数的必要条件，(1)(1)f f =-，求出a ，再验证()f x 是否为奇函数. 【详解】a R +∈，函数为奇函数且定义域为R ，112(1)(1),122f f a a -∴-=-=-++，解得1a =，此时()212112,()()212112x x xx x xf x f x f x -----=-===-+++， 1a =，满足题意.故答案为:1. 【点睛】本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用，减少计算量，但要验证，属于基础题.12．已知常数a R ∈，函数()24a x x x f =-+在[]1,4上有两个不同的零点，则a 的取值范围为__________. 【答案】[)3,4【解析】根据函数零点存在性定理，结合二次函数图像，即可求解. 【详解】函数()24a x x x f =-+对称轴方程为2[1,4]x =∈()f x 在[]1,4上有两个不同的零点，须1640(1)30(4)120a f a f a ∆=->⎧⎪=-+≥⎨⎪=-+≥⎩，解得34a ≤<. 故答案为:[)3,4. 【点睛】本题考查二次函数零点分布，考查零点存在性定理的应用，以及二次函数的图像性质，属于基础题.13．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.【答案】【解析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a <-时，()0f x ≤<，()f x ≤≤即()f x，2=，解得a =. 故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题. 14．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.【答案】【解析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.15．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________. 【答案】(]0,1【解析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解. 【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞， 此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+ 当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同， 故a 的取值范围为(]0,1. 故答案为:(]0,1. 【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.16．已知常数a R ∈，设函数()()3321x a f x x =+-+定义域为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若()f x 的最小值为0，则a =__________.【解析】由已知可得()0f x ≥恒成立，且等号能取到，分离参数得到20,3a x ⎛ ⎝≥⎭∈恒成立，通过换元，求函数2y x ⎛ ⎝=⎭∈的最大值，即可求解. 【详解】()33210,0,3x a x x ⎛⎫+-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭（）恒成立，且等号能取到，22(3(20,3(21)10x x a x x a +≥+--+≥，2a ∴≥，令2)t t >= 2222213222,222t t x a t t t -⋅-+=≥=+++， 令2222162(2)4(2)6(2(2))4g t t t t t t t t --==+--+=+-++-≤=，当且仅当2t =+24a ∴≥，因为（）取到等号，所以24a =.故答案为. 【点睛】本题考查最值与不等式的关系，转化为不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，注意换元法以及基本不等式的应用，属于较难题.三、解答题17．已知常数a R ∈，函数()21f x x a =-+. (1)若3a =-，解不等式()0f x ≤；(2)若关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2-(2)1a ≥.【解析】（1）3a =-代入去绝对值，即可求解；（2）关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()1f x ≥，即可求解. 【详解】（1）3a =-时，()2130,213f x x x =--≤-≤，3213,12x x -≤-≤-≤≤，所以不等式的解为[1,2]-； （2）()21f x x a a =-+≥，关于x 的不等式()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立， 所以min ()1f x a =≥， 所以a 的取值范围是1a ≥. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及不等式恒成立问题，利用绝对值性质求最值，属于基础题.18．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，()221f x x x =-+. (1)求函数()()()0g x f x x x =-≥的零点；(2)若()f x 为偶函数.当0x <时，解不等式()43f x x <--. 【答案】(1)1x =；(2)(),1-∞-.【解析】（1）求()g x 的零点，即解方程2(0)1x x x =≥+，转化为求解一元二次方程；（2）利用偶函数的对称性，求出0x <时，函数解析式，解不等式，即可求解. 【详解】（1）令()()201x g x f x x x =-+-==， 220x x +-=，解得1x =或2x =-（舍去）， 所以函数()g x 的零点为1； （2）当20,0,()21x x f x x x <->-=---+， ()f x 为偶函数，2()21f x x x =-+-， ()43f x x <--等价于022301x x x <⎧⎪⎨++<⎪-⎩， 即2210x x x <⎧⎨+->⎩，解得1x <-， 不等式的解为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查函数的零点，考查函数的奇偶性求解析式，以及解分式不等式，属于中档题. 19．研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩. (1)在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；(2)根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 【答案】(1)82；(2)不能. 【解析】（1）014t <≤，216464p t t =-++，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；（2）求出80p >时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论. 【详解】（1）014t <≤，2211646(12)8244p t t t =-++=--+， 当12t =时，p 取最大值为82，在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），注意力指标的最大值为82；（2）由80p >得，()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩ 整理得()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩，解得1214t -<≤或1432t <<，80p >的解为1232t -<<，而32(122025--=+，所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容. 【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题. 20．已知常数a R +∈，函数()21f x x ax =-+.(1)若3a =，解方程()33g lo 413g lo f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭； (2)设函数()()12g x f x =⎡⎤⎣⎦.若()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；(3)设集合(){}3,1A x f x x a x a ==+-≥-的元素个数为n ，求n 关于a 的函数()n a 在R +表达式.【答案】（1）5x =；（2）4313,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）见解析 【解析】（1）方程化为同底的对数式，转化为真数相等，求解一元二次方程，验证真数大于0，即可求解；（2）根据二次函数的单调性，求出()f x 在2[0,]3单调递减，且恒大于零，即可求出结论；（3）()3,1f x x a x a =+-≥-，分离参数化为241x x a x -+=+，换元令1()t x t a =+≥，转化为63a t t =+-，讨论y a =与63,()y t t a t=+-≥交点情况，即可求解. 【详解】（1）当3a =时，方程()33g lo 413g lo f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭化为， ()3324l log o 33g (1)x x x -+=-，等价于2436,50x x x +>-=， 解得5x =或1x =（舍去）， 所以所求的方程解为5；（2）()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，须2232213()0339a f a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩，解得41336a ≤≤，a 的取值范围为413[,]36； （3）当1x a ≥-时，()213f x x ax x a =-+=+-，1x a ≥-，241x x a x -+=+，换元令1()t x t a =+≥， 23663t t a t t t-+==+-，①当(0,3)a ∈时，()0n a =；②当0633a a a a a ⎧<≤⎪⎪+-≥⎨⎪⎪=⎩，即3a =时，()1n a =；③当0633a a a a a ⎧<≤⎪⎪+-≥⎨⎪⎪>⎩，即3,2]a ∈时，()2n a =；④当0663263aa aaa⎧<≤⎪⎪+-<⎨⎪⎪>-⎩，即(2,6]a∈时，()1n a=；⑤当6a>时，66(3)30a aa a+--=-<，()1n a=；综上，00263()1263222632an a a aa⎧<<-⎪⎪==->⎨⎪-<≤⎪⎩或.【点睛】本题考查复合函数的单调性，不要忽略定义域，考查函数的零点，注意分离参数的应用，数形结合是解题的关键，属于较难题.21．已知函数()f x，()g x的定义域分别为12,D D，若存在常数C R+∈，满足：①对任意01x D∈，恒有01x C D+∈，且()()00f x f x C≤+.②对任意01x D∈，关于x的不等式组()()f xg x≤≤()()g x C f x C+≤+恒有解，则称()g x为()f x的一个“C型函数”.(1)设函数()1103113xf xx⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩和()110212xg xx⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求证：()g x为()f x的一个“12型函数”；(2)设常数a R∈，函数()()31f x x ax a=+≥-，()()21g x x x=≥-.若()g x为()f x的一个“1型函数”，求a的取值范围；(3)设函数()()240f x x x x=-≥.问：是否存在常数t R+∈，使得函数()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)[)7,+∞.【解析】（1）由()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，()00112f x f x ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭恒成立，①成立，根据()g x 解析式，0x =为不等式组()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，得②成立，即可证明结论；（2）()g x 为()f x 的一个“1型函数”，满足①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，求出a 的范围，②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，转化为求函数的最值，可求出a 的范围，即可求解；（3）由()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”，与（2）同理，将同时满足①②条件的参数t 求出，即可求解. 【详解】（1）①00000115[0,],()1,[,],()1()2211623x f x x f x f x ∈=-∈>++=， 当000015(,),(),()()1361122x x f x f x ∈+∞∈++∞+==，任意0[0,)x ∈+∞，且()0012f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，②()1102102x g x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，1(0)()12f f ==，因为()()00110()()22f xg g f x ≤≤≤+，0x =为不等式()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，所以()g x 为()f x 的一个“12型函数”；（2）①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，22000113313()024x x a x a +++=+++≥，20min 1111[3()]0,2444x a a a ∴+++=+≥≥-；②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，()()()()30030022122111x x ax x x x x a x ⎧≥+⎪⎪+≥⎨⎪+≤+++⎪⎩，即300320002231x x ax x x ax x a ⎧≥+⎨≤+++-⎩， 因为关于x 的不等式组恒有解，所以323000000331x ax x x a x ax ++++-≥+，22000173313()024x x a x a ∴++-=++-≥恒成立，74a ∴≥；综上，74a ∴≥；（3）①对任意对任意0000,()()x f x f x t ≥≤+，222000004()4(),420x x x t x t t t x t -≤+-+-+≥，00min ,420,(42)40,4t R t x t x t t +∈∴-+≥-+=-≥∴≥Q ；②对任意00x ≥，关于x 的不等式组00()()()()f x g x g x t f x t ≤≤+≤+恒有解，()()22002222220024*******t x x x x t t x t x x tx t x t x t x t x t x t x t x t ⎧+≥-⎪⎪⎪++≥+⇒+-≥⇒≥⎨+⎪⎪++≤+-+⎪+⎩， 考虑22min 002()()4(),t x t x t x t x t x t++≤+-+≥+，令(2)x t m m t +=≥，则2222min 00022()23()4()(2)42t t m t t x t x t x t m t+=+=≤+-+=+--，由于204,(2)4t y x t ≥=+--在00x ≥时，单调递增，220min 3[(2)4](2)4,7t x t t t ≤+--=--∴≥或0t ≤（舍去），由()(2)3g t g t t ==，记方程()3f x t =的根为1x ，若010x x ≤≤，则00()3()(2)()f x t g t g t f x t ≤==≤+， 即x t =为不等式组的一个解， 若01x x >，取2x t >且0()()g x f x =，220022()()()()t t g x t x t x t g x t f x t f x t x t x+=++<++=+=+≤++，综上，7t ≥. 【点睛】本题考查函数新定义问题，要充分理解题意，考查不等式恒成立和能成立问题，熟练利用二次函数求最值是解题的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解决问题的能力，属于难题.。