2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题）1. 若复数z满足z=1+ii（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面的对应点的坐标为(1, −1)，在第四象限．2. 已知命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p为（）A.∀n∈N，2n≤1000B.∀n∈N，2n>1000C.∃n∈N，2n≤1000D.∃n∈N，2n<1000【答案】A【考点】命题的否定【解析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．【解答】∵命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p为∀n∈N，2n≤10003. 已知双曲线C:x2a2−y2＝1(a>0)的离心率为√52，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的离心率，建立方程关系进行求解即可．【解答】由双曲线的方程得b＝1，则c=√a2+1，∵双曲线的离心率为√52，∴ ca =√a 2+1a=√52， 平方得a 2+1a 2=54，得a 2＝4，∵ a >0，∴ a ＝2，4. 已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝1，|2a →−b →|=√3，则|b →|＝（ ）A.1B.√2C.√3D.2【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】把|2a →−b →|=√3两边平方，然后展开数量积求解． 【解答】由|2a →−b →|=√3，得|2a →−b →|2=(2a →−b →)2=4|a →|2−4a →⋅b →+|b →|2=3， 又向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|＝1， ∴ 4×12−4×1×|b →|cos 60+|b →|2=3， 整理得：|b →|2−2|b →|+1=0，解得|b →|＝1．5. 已知cos (π6−α)=23，则cos (5π3+2α)的值为（ ） A.59B.19C.−19D.−59【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】已知cos (π6−α)=23，则cos (5π3+2α)=cos (π3−2α)＝2cos 2(π6−α)−1＝2×49−1=−19，6. 定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，a =f(log 212)，b =f((12)13)，c ＝f(m)，则（ ） A.c <a <b B.a <c <bC.a <b <cD.b <a <c【答案】C【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】根据题意偶函数的定义求出m 的值，写出f(x)的解析式，判断函数的单调性，再比较a 、b 、c 的大小． 【解答】定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数， 则f(−x)＝f(x)，即(13)|−x−m|−2=(13)|x−m|−2；所以m ＝0，所以f(x)=(13)|x|−2，且在[0, +∞)上是单调减函数； 又log 212=−1，0<(12)13<12，m ＝0； 所以f(log 212)<f((12)13)<f(0)，即a <b <c ．7. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（ ） A.48 B.36 C.24 D.12 【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A 22＝2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A 22＝2种排法， ③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A 33＝6种排法， 则共有2×2×6＝24种排法，8. 若函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则当φ最小时，tan φ＝（ ） A.√33 B.√3 C.−√33D.−√3【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值，可得tan φ的值． 【解答】函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，可得y ＝sin (2x +2φ−π6) 的图象，∵ 所得的图象关于y 轴对称， 2φ−π6=π2+kπ，k ∈Z ，∵ φ>0，∴ 当φ最小时，φ=π3，tan φ=√3，9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A.60 B.90 C.120 D.150 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者由分步计数原理计算可得答案； 【解答】根据题意，分2步进行分析 ①、将5项工作分成3组 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33＝6种情况； 所以不同的安排方式则有25×6＝150种，10. 已知两点A(−1, 0)，B(1, 0)，以及圆C ：(x −3)2+(y −4)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足AP →⋅PB →=0，则r 的取值范围是（ ） A.[3, 6] B.[3, 5] C.[4, 5]D.[4, 6]【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，分析可得点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，分析可得圆M 的方程，求出圆C 的圆心与半径，进而可得圆M 与圆C 有公共点，则|r −1|≤5≤r +1，解可得r 的取值范围，即可得答案． 【解答】根据题意，点A(−1, 0)，B(1, 0)，若点P 满足AP →⋅PB →=0，即AP ⊥BP ，则点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，则M 的坐标为(0, 0)，|AB|＝2， 则圆M 的方程为x 2+y 2＝1，圆C ：(x −3)2+(y −4)2＝r 2(r >0)，圆心为(3, 4)，半径为r ，则|MC|＝5若圆C 上存在点P ，满足AP →⋅PB →=0，则圆M 与圆C 有公共点，则|r −1|≤5≤r +1， 解可得：4≤r ≤6，即r 的取值范围为[4, 6]；11. 如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP +PE 的最小值为√14，则该正四面体的外接球表面积是（ ）A.12πB.32πC.8πD.24π 【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题给的动点问题，将问题从立体转为平面，即可求出正四面体的棱长，求出答案． 【解答】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP +PE 的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =√14设AB ＝2a ，则∠BAD ＝120∘，由余弦定理−12=4a 2+a 2−142⋅2a⋅a，解得a =√2，则正四面体棱长为2√2，因为正四面体的外接球半径是棱长的√64倍， 所以，设外接球半径为R ，则R =√64⋅2√2=√3，则表面积S ＝4πR 2＝4π⋅3＝12π．12. 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有一点P ，椭圆内一点Q 在PF 2的延长线上，满足QF 1⊥QP ，若sin ∠F 1PQ =513，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A.(15, 1)B.(√2626, 1) C.(15,√22) D.(√2626,√22) 【答案】 D【考点】 椭圆的离心率 【解析】由满足QF 1⊥QP ，点PQ 在y 轴上时，设∠F 1PQ ＝2α，根据sin ∠F 1PQ ＝sin 2α=513，及其sin α＝e ，cos α=√1−e 2，即可得出e ．当点Q 在最下端时，∠F 1QF 2最大，此时F 1Q ⊥F 2Q ．当b ＝c ，e =√22，根据点Q 在椭圆的内部即可得出e 的范围． 【解答】由满足QF 1⊥QP ，点PQ 在y 轴上时，设∠F 1PQ ＝2α， ∵ sin ∠F 1PQ ＝sin 2α=513，又sin α＝e ，cos α=√1−e 2， ∴ 2e√1−e 2=513，解得e =√2626． ∴ e >√2626． 当点Q 在最下端时，∠F 1QF 2最大，此时F 1Q ⊥F 2Q ． 可得点Q 在椭圆的内部，当b ＝c ，e =√22，因此e <√22． 综上可得：√2626<e <√22． 二、填空题（每小题5分，共4小题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=6，S 15=15，则公差d =________． 【答案】−52【考点】等差数列的性质 【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】∵a6=6，S15=15，∴a1+5d=6，15a1+15×142d=15，∴d=−52．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点(2, 3)，则它的渐近线方程为________．【答案】y=±√3x【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的焦距为4，得a2+b2＝4；再由点(2, 3)在双曲线上得4a2−9b2=1，联解得a2＝1、b2＝3，由此即可得到ba=√3，得出双曲线的渐近线方程．【解答】∵双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的焦距为4，∴c＝2，得c2＝a2+b2＝4…①∵点(2, 3)在双曲线上，∴4a2−9b2=1⋯②联解①②，得a2＝1，b2＝3∴a＝1且b=√3，得ba=√3，所以的渐近线方程为y＝±bax，即y=±√3x给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有________种不同的染色方案．【答案】96【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即AF同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即AF，BD，CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．【解答】要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C43=4种取法，三种颜色染三个区域有A33=6种染法，共4×6＝24种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案（AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A42=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有3×12×2＝72种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为24+72＝96种．已知抛物线y2＝2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F // BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是________．【答案】①②③④⑤【考点】抛物线的性质【解析】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F＝AF，B′F＝BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．【解答】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A＝AF，B′B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F // BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点三、解答题（共70分）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝1，BB1＝2．（1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值；（2）求直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【答案】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0, 0, 2)，C 1(0, 1, 2)，A 1(1, 0, 2)，C(0, 1, 0)， B 1C 1→=(0, 1, 0)，A 1C →=(−1, 1, −2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=|B 1C 1→⋅A 1C →||B 1C 1→|⋅|A 1C →|=√6，∴ tan θ=√5．∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →=(0, 1, −2)，BC →=(0, 1, 0)，BA 1→=(1, 0, 2)， 设平面A 1BC 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC →=y =0n →⋅BA 1→=x +2z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 0, 1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√5⋅√5=25， cos α=√1−(25)2=√215． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为√215．【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值．（2）求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法能求出直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【解答】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0, 0, 2)，C 1(0, 1, 2)，A 1(1, 0, 2)，C(0, 1, 0)， B 1C 1→=(0, 1, 0)，A 1C →=(−1, 1, −2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=|B 1C 1→⋅A 1C →||B 1C 1→|⋅|A 1C →|=√6，∴ tan θ=√5．∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →=(0, 1, −2)，BC →=(0, 1, 0)，BA 1→=(1, 0, 2)， 设平面A 1BC 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC →=y =0n →⋅BA 1→=x +2z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 0, 1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√5⋅√5=25，cos α=√1−(25)2=√215． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为√215．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0, 10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：（1）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【答案】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．=0.6，女居民幸福的概率为：175+125500故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)，由此能求出X的分布列和期望．【解答】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．女居民幸福的概率为：175+125500=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N∗．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）已知曲线∁n:x2+(19−a n)y2＝1，若∁n为椭圆，求n的值；（3）若b n＝(a n2)×log3(3a n2)，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】证明：∵S n+1＝3S n+2，∴S n+1+1＝3S n+3＝3(S n+1)，又S1+1＝a1+1＝3，∴{S n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列．由（1）可知S n+1＝3n，即S n＝3n−1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝3n−3n−1＝2⋅3n−1．显然当n＝1时，上式也成立，故a n＝2⋅3n−1．∵曲线∁n:x2+(19−a n)y2＝1表示椭圆，∴19−a n>0且19−a n≠1．∴{2⋅3n−1<192⋅3n−1≠18，又n∈N×，故n＝1或n＝2．b n＝3n−1⋅log33n＝n⋅3n−1．∴T n＝1⋅30+2⋅3+3⋅32+4⋅33+...+n⋅3n−1，①两边同乘3可得：3T n＝1⋅3+2⋅32+3⋅33+4⋅34+...+n⋅3n，②①-②可得：−2T n＝1+3+32+33+...+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n＝(12−n)⋅3n−12，∴ T n =2n−14⋅3n +14．【考点】 数列的求和数列与解析几何的综合 【解析】（1）对已知条件S n+1＝3S n +2两边加1即可得出结论；（2）由（1）得出S n 的表达式，再求出a n 的通项公式，根据椭圆方程得出19−a n 的范围，从而得出n 的值；（3）化简b n ，利用错位相减法求和． 【解答】证明：∵ S n+1＝3S n +2，∴ S n+1+1＝3S n +3＝3(S n +1)， 又S 1+1＝a 1+1＝3，∴ {S n +1}是以3为首项，以3为公比的等比数列． 由（1）可知S n +1＝3n ，即S n ＝3n −1，当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝3n −3n−1＝2⋅3n−1． 显然当n ＝1时，上式也成立， 故a n ＝2⋅3n−1．∵ 曲线∁n :x 2+(19−a n )y 2＝1表示椭圆， ∴ 19−a n >0且19−a n ≠1．∴ {2⋅3n−1<192⋅3n−1≠18，又n ∈N ×，故n ＝1或n ＝2．b n ＝3n−1⋅log 33n ＝n ⋅3n−1．∴ T n ＝1⋅30+2⋅3+3⋅32+4⋅33+...+n ⋅3n−1，①两边同乘3可得：3T n ＝1⋅3+2⋅32+3⋅33+4⋅34+...+n ⋅3n ，② ①-②可得：−2T n ＝1+3+32+33+...+3n−1−n ⋅3n=1−3n 1−3−n ⋅3n ＝(12−n)⋅3n −12，∴ T n =2n−14⋅3n +14．已知椭圆方程为x 26+y 23=1．（1）设椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→的值．（2）设直线l 和圆x 2+y 2＝2相切，和椭圆交于两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆x 2+y 2＝2交于两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．【答案】由已知，F 1(−√3, 0)，F 2(√3,0)，设P(x, y)， 由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+√22x)(√6−√22x)=6−12x 2，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3． 结合x 26+y 23=1，得y 2=3−12x 2，故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,−√2)，C(1, 1)，D(1, −1)， 故S 1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得|m|√1+k 2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0． x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3−12x 12，y 22=3−12x 22， 可知S 1S 2=12|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB 12|OC|⋅|OD|⋅sin ∠COD =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+12x 22)=12√9+32[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14(x 1x 2)2． 将根与系数的关系代入整理得：S 1S 2=12√9+12k 2m 2−6m 2+36k 2+18+(m 2−3)2(2k 2+1)2，结合m 2＝2(k 2+1)，得S1S 2=12√9+28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2．设t ＝2k 2+1≥1，u =1t ∈(0, 1]， 则S 1S 2=12√9+7t 2+8t−8t 2=12√−8t 2+8t +16=12√−8u 2+8u +16∈[2, 3√22]． ∴ S1S 2的取值范围是[2, 3√22]．【考点】椭圆的离心率 【解析】（1）由已知求得椭圆焦点坐标，设P(x, y)，由焦半径公式及数量积公式可得|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，求得S 1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，由已知可得2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式写出S1S 2，再由换元法结合二次函数求最值．【解答】由已知，F 1(−√3, 0)，F 2(√3,0)，设P(x, y)， 由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+√22x)(√6−√22x)=6−12x 2，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3． 结合x 26+y 23=1，得y 2=3−12x 2，故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,−√2)，C(1, 1)，D(1, −1)， 故S1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0． x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3−12x 12，y 22=3−12x 22， 可知S 1S 2=12|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB 12|OC|⋅|OD|⋅sin ∠COD =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+12x 22)=12√9+32[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14(x 1x 2)2．将根与系数的关系代入整理得：S 1S 2=12√9+12k 2m 2−6m 2+36k 2+18+(m 2−3)2(2k 2+1)2，结合m 2＝2(k 2+1)，得S1S 2=12√9+28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2．设t ＝2k 2+1≥1，u =1t ∈(0, 1]， 则S 1S 2=12√9+7t 2+8t−8t 2=12√−8t 2+8t +16=12√−8u 2+8u +16∈[2, 3√22]． ∴ S1S 2的取值范围是[2, 3√22]．已知函数f(x)＝x3−3ax+e，g(x)＝1−ln x，其中e为自然对数的底数．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）用max{m, n}表示m，n中较大者，记函数ℎ(x)＝max{f(x), g(x)}，(x>0)．若函数ℎ(x)在(0, +∞)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】f′(x)＝3x2−3a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f′(x)＝3(x+√a)(x−√a)，当x∈(−∞, −√a)，(√a, +∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(−√a,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0, e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0, e)无零点，当x＝e时，g(e)＝0，f(e)＝e3−3ae+e，若f(e)≤0，即a≥e 2+13，则e是ℎ(x)的一个零点，若f(e)>0，即a<e 2+13，则e不是ℎ(x)的零点，当x∈(e, +∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f′(x)＝3x2−3a>3e2−3a，①当a≤e2时，f′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上单调递增．所以：(ⅰ)当a≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e, +∞)上无零点；(ⅱ)当e2+13<a≤e2时，f(e)<0，又f(2e)＝8e3−6ae+e≥8e3−6e2+e>0，所以此时f(x)在(e, +∞)上恰有一个零点；②当a>e2时，由（1）知，f(x)在(e, √a)递减，(√a, +∞)递增，又因为f(e)＝e3−3ae+e<e3−3e3+e<0，f(2a)＝8a3−6a2+e>8a2−6a2+ e＝2a2+e>0，所以此时f(x)恰有一个零点．综上，a>e 2+13．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）含参的求导判断单调性；（2）ℎ(x)＝max{f(x), g(x)}，(x>0)，对x∈(0, e)，x ＝e，x∈(e, +∞)三种情况讨论函数f(x)，与g(x)的零点问题，得出结论．【解答】f′(x)＝3x2−3a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，当a >0时，f ′(x)＝3(x +√a)(x −√a)，当x ∈(−∞, −√a)，(√a, +∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(−√a,√a)，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(0, e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0, e)无零点， 当x ＝e 时，g(e)＝0，f(e)＝e 3−3ae +e ， 若f(e)≤0，即a ≥e 2+13，则e 是ℎ(x)的一个零点， 若f(e)>0，即a <e 2+13，则e 不是ℎ(x)的零点，当x ∈(e, +∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f ′(x)＝3x 2−3a >3e 2−3a ，①当a ≤e 2时，f ′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上单调递增． 所以：(ⅰ)当a ≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e, +∞)上无零点；(ⅱ)当e 2+13<a ≤e 2时，f(e)<0，又f(2e)＝8e 3−6ae +e ≥8e 3−6e 2+e >0，所以此时f(x)在(e, +∞)上恰有一个零点；②当a >e 2时，由（1）知，f(x)在(e, √a)递减，(√a, +∞)递增，又因为f(e)＝e 3−3ae +e <e 3−3e 3+e <0，f(2a)＝8a 3−6a 2+e >8a 2−6a 2+e ＝2a 2+e >0，所以此时f(x)恰有一个零点． 综上，a >e 2+13．选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答，作答前填上所选的题号，如若多做，则按所做第一题计分.[参数方程与极坐标选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点．（1）求曲线C 2的参数方程和α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【答案】曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos βy =sin β (β)，当α=π2时，l 与C 2交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx −√2．l 与C 2交于两点当且仅当√2√1+k 2<1，解得k <−1或k >1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．l 的参数方程为{x =t cos αy =−√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2，且t A ，t B ，满足t 2−2√2t sin α+1=0．于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x, y)满足{x =t P cos αy =−√2+t P sin α ，所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2αy =−√22−√22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4)．【考点】 轨迹方程函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】（1）利用平移变换，求解曲线C 2的参数方程，通过讨论α的值，判断过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点．（2）设出A 、B 坐标，P 的坐标，利用直线的参数方程，转化求解AB 中点P 的轨迹的参数方程即可． 【解答】曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos βy =sin β (β)，当α=π2时，l 与C 2交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx −√2．l 与C 2交于两点当且仅当√22<1，解得k <−1或k >1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．l 的参数方程为{x =t cos αy =−√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2，且t A ，t B ，满足t 2−2√2t sin α+1=0．于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x, y)满足{x =t P cos αy =−√2+t P sin α ，所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2αy =−√22−√22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4)．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2a|+|x|，a ∈R ，（1）若不等式f(x)≥a 2对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．（2）设实数m为（1）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z＝2m，求(x+ y)2+y2+z2的最小值．【答案】因为f(x)＝|x−2a|+|x|≥|x−2a−x|＝|2a|，因为f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，所以|2a|≥a2，从而−2≤a≤2．故实数a的取值范围是[−2, 2]；由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(−2)2+12)≥[4(x+y)−2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，所以(x+y)2+y2+z2≥1621，当且仅当x+y4=y−2=z1时等号成立，从而(x+y)2+y2+z2的最小值为1621,x=87,y=−821,z=421时等号成立．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得f(x)min＝|2a|，依题意可得|2a|≥a2，解之即可求得实数a的取值范围；（2）设利用柯西不等式即可求得(x+y)2+y2+z2的最小值．【解答】因为f(x)＝|x−2a|+|x|≥|x−2a−x|＝|2a|，因为f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，所以|2a|≥a2，从而−2≤a≤2．故实数a的取值范围是[−2, 2]；由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(−2)2+12)≥[4(x+y)−2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，所以(x+y)2+y2+z2≥1621，当且仅当x+y4=y−2=z1时等号成立，从而(x+y)2+y2+z2的最小值为1621,x=87,y=−821,z=421时等号成立．。