hlh课标定位卩明确学习目标,1W（学习,有的狀】一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。

在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。

三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。

在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、五点法”作图、诱导公式、函数y= Asin （3 x+0）的图象与正弦函数y= sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y= Asin（3 x+Q）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

lift 【倾听名和点拨「夯实基sa ■提升勒】r__, 1―j y、知识脉络图：角的概念的推广:任意角的概念三角函数、知识点拨：y = sin x 与y =1. COSX的周期是兀。

2.2；i y =sin（ 'X •「）或y 二cos（）（• ■ = 0）的周期为T =3. y = tan°的周期为2兀。

24. y =sin（「x •「）的对称轴方程是x = k二■（k Z），对称中心为（k- ,0）；y = cos（x）的对称轴方程是1（k - ,0）；2x =k：：；；（k - Z ）,对称中心为y = tan（「x •）的对称中心为k-2，0八315. 当tan ：•an ：=1 时，，- -k （k Z）；2当tan : tan - - -1 时- 一（k Z）26. 函数y = tanx在R上为增函数。

（X）角的概念［只能在某个单调区间上单调递增。

若在整个定义域上，则y二tan x为增函数的说法同样也是错误的。

］7. y=si nx不是周期函数；y=s in x为周期函数(T =兀)；Y=cos|x| y =c°sx是周期函数(如图)；y=|cosx| y = cosx为周期函数(T =兀)；随堂练习：函数f (x)=sinx? ( cosx-sinx)的最小正周期是( ) n JIA. B. C. n D. 2 n4 2解：Tf (x) =sinx? ( cosx-sinx ) =sinxcosx-sin 2x1 z、12 / 二、1 = —(sin2x+cos2x ) - —=sin (2x+ —) ——2 2 2 4 2••• T= n故选C.Ub则0例题【佔硏典艸虬应用攻飢静松湘】, — ----- :_I ------ 1 ___ —/知识点一：三角函数的概念例题1 设角a属于第二象限，|COS |=—cos ,试判断角属于第几象限？2 2 2思路导航：首先应根据a所属象限确定出所属的象限，然后再由-cos > 0 ,2 2aCOS —W0确定最终答案，要点就是分类讨论。

2n答案：因为a属于第二象限，所以2k n + —VaV 2k n+lt€(Z),2a n• - k n 片V —V k n^-( k € Z )。

4 2 2当k = 2n (n € Z)时，JI a n2n n + — V — V 2n n^~(n € Z )。

4 2 25.••二是第一象限角;2当 k = 2n + 1 (n € Z )时，5仃 口 3仃2n n+— < — v 2n n 十 (n € Z )。

4 2 2.•.一是第三象限角。

2, a a a又由 |cos | = — cos >0 cos < 0 o2 2 2所以应为第二、三象限角或终边落在 x 轴的负半轴上。

综上所述，丄是第三象限2 2的角。

ot otOt■ 、点评：由a 所在象限，判断诸如—，—，—等角所在的象限时，一般有两种办法：234一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定 ，二，二所属2 3 4的象限；另一种办法就是将 k 进行分类讨论。

一般来说，分母是几就应分几类去讨论 。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式3例题 2 (1)已知 nVaV 2 n,COS (a — 7n)=，求 sin ( 3 n + a)与 ta n (a — 5—)的值;2(2) 已知 2 + sinAcosA = 5cos 2A ，求 tanA 的值；1(3) 已知 sin a+ cos 乜,=且 a€(0， n)，求 sin 3 a —cos 3 a 的值。

5答案： (1 )T COS (a — 7 n)3 =—cos a=--5兀=‘2兀2 伪V V a 伪VV冗33一2n(又 二一一， ， 4L5 4 肝5sn7兀(a — ---- )2sin(： _ 7 二)' 2 cos z 7 -si na cos( )25 (2)将已知式化为•/ cosA 丰 0,2sin 2A + 2cos 2A + si nA 2-cos5cg A ,5• cos 3a=。

53o22(sin t 'cos ： ) -1 1225，••2tan 2A + tanA — 3 = 0, tanA = 1 或 tanA =(3) sin a cos aa€ 0,n),••• sin o0, cos a &, --------------------- 7「sin a — cos a1=- 2 si n : cos :5.• 337 z 12 81• si n a - os a= — X(1 )= ----- 。

5 25 125点评： 形女口 asin a + bcos a 禾口 asin 2 a+ bsin Sin a 、 co 的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入 方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质例题3对于函数f (x )= 2sin (2x + —),给出下列结论：3①图象关于原点成中心对称：②图象关于直线x =成轴对称；③图象可由函数y =122sin2x 的图象向左平移 一个单位得到；④图象向左平移一个单位，即得到函数y =3 122cos2x 的图象。

其中正确结论的个数为()个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：十(x )是非奇非偶函数，•①错误。

•••f (x )是由y = 2sin2x 向左平移一个单位得到的，6•③错误。

把x = 一代入f (x )中使函数取得最值,12②正确。

■：■ 左移—•个单位二 二f (x ) = 2sin (2x + —) --------- 12' f (x )= 2sin : 2 (x + 一)+ — ]=3 12 32cos2x ,•④正确。

答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。

在用排除法时，要注意函 数性质的应用。

例题 4 设函数 f (x )= sin3x + |sin3x| ,则 f (x )为()兀2兀/• sin a — CO© , a>a coccos 车a 的式子分别称为关于A.周期函数，最小正周期为一B.周期函数，最小正周期为——3 3C.周期函数，最小正周期为2 nD.非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入f(x T^ f (x)检验，也可化简f (x) = sin3x + sin3x。

答案：f (x)= sin3x + |sin3x|2k兀2kn n2sin 3x, ------ 兰x 兰---- + —,=』 3 3 32kx 兀2k 兀2n0, ————+——.、一 3 3 3 3•'B正确。

答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。

本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。

后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若直角三角形中较小的锐角是0,大正方形的面1积是1 ,小正方形的面积是，则sin20—cos20的值等于25A. 1B. 2425思路导航=cos 0,由题意，设大正方形边长725D.7251AB = 1,小正方形的边长是一，贝U BE= sin 0AE5•cos 0—sin—。

=524 平方得2cos 0 sin0 —。

2549 ••( cos 0+ sin =0 沪2cos 0 sin 十257•cos 0+ sin—0 =5•'sin20—cos20=( sin 0—cos 0)(sin 0+ cos 0)1 7 7———————----------------5 5 25C.点评：三角函数的应用非常广泛 。

将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题 ，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2k nW x W 2k n 二，k € Z }。

3答案：{x|2k nW x W 2k n4, k € Z }3点评：解三角不等式基本上有两种方法:①利用三角函数线。

②利用三角函数图象的最大、最小值。

1 sin x cosx思路导航：利用三角函数中sin 2_：：，cos 2 -1和sin 「，COS J 与sin 二•c os -：：的关 系，转化成同一个量的关系式。

t 2 -1答案: 设 sinx + cosx = t ,贝U sinxcosx =, t € 2t 2 -122 t —1 t —1 y=--- = ---------- = --------1 t2 2t 2 'n 例题（全国大纲理5）设函数f （X ）二cos^xC >0）,将y=f （x ）的图像向右平移 一 3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（例题6函数y =剧x 5一；的定义域是思路导航由题意知，cosx —1 一 0 = I 2sin x _ 0i i cosx . I 2例题7 求函数f (x )=sinxcosx••当 t = 2 ,即 x = 2kJInF ( k € Z )时，f ( x )的最大值为4当 t = — 2 ,即 x = 2k 3 二n —— .2-1 ；2 72 +i — 。