a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列互换（即行列式转置），行列式的值不变
D DT
证明略
27
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。即
a11 a2 L a1n
a11 a2 L a1n
M MMM M MMM
as1 as2 L asn
at1 at2 L atn 第s行
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
9
x1 x2 x3 2x4 0
副对角线
a21
a22
例如
13 1 7 (2)3 13
2 7
7
三阶行列式
同理，称
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
（共4！=24个4级排列）
1423 1432 2413 2431 3412 3421 4312 4321
n级排列共有n!个。
13
定义2 在一个排列中，如果某两个位置上的数前大后小，称 这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数称为 该排列的逆序数。 排列 j1 j2 L jn 的逆序数记为 ( j1 j2 L jn )
a21 a22
4
例：解方程组 32xx11
3x2 2x2

1的解 0
解：利用行列式表示
13
0 x1 2
2 3
1 (2) 0 3 2 2 , 2 (2) 3 3 13 13
3 2
21 30 x2 2 3 3 2
20 31 3 13 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
19
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列下标排列的逆序数为
312 11 2 偶排列 正号
a a a 11 23 32 列标排列的逆序数为
一般地，二阶行列式 a11 a21
其值为a11a22 a21a12
a12 是一个数， a22
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为 列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
6
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线
a11
a12
a11a22 a12a21.
解
a11 a21
a12
a22

(1) ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2
j j2
(1) (12) a11a22 (1) (21) a12 a21
(1)0 a11a22 (1)1 a12a21
a11a22 a12 a21
22
例2 计算上三角行列式
a11 a12 L a1n 0 a22 L a2n LLLLLLL
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
17
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a11 a12 L a21 a22 L MM
a1n a2n ? M
an1 an2 L ann
12
二、排列
定义1 由数1，2，3，…，n组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。
如4级排列：1234 1243 1324 1342 2134 2143 2314 2341 3124 3142 3214 3241 4123 4132 4213 4231
例：解线性方程组 32xx11
x2 2x2
x3 x3
x4 5x4

0 5
x1 x2 x3 x4 1
0 1 1 2
0 1 1 1
5 2 15
1 1 x1 1 1
1 1
1 9 1 29
2 1 1 1
3 2 15
1 1 1 1
,
x2

a11b1 a11a22
a21b2 a21a12
设记号： a11 a21
a12 a22
a11a22 a21a12
则：
b1 b2
a12 a22
b1a22 b2a12
a11 a21
公式不好记！
b1 b2
a11b2 a21b1
3
这时，方程组 aa2111xx11
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
j1 j2L jn1n
(1) (123L n) a11a22 L ann
a11a22 L ann
a11 0 L 0 同理 计算下三角行列式 a21 a22 L 0
M MMM
解：
a11 0 L 0
an1 an2 L ann
a21 a22 L M MM
0 ( j1 j2L jn )
1 0 12
2 0 1 1
3 5 15
1 1 x2 1 1
1 1
1 18 2 29
2 1 1 1
3 2 15
1 1 1 1
x1 x2 x3 2x4 0
例：解线性方程组 32xx11
x2 2x2
x3 x3
x4 5x4

2 1 1 1
3 2 15
1 1 1 1
对于n元线性方程组：
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1

a21x1

a22 x2
L M

a2n xn

b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
其所有系数构成的n阶行列式如何计算？
(1) a a L a 1 j1 2 j2
njn
M j1 j2L jn
an1 an2 L
ann
(1) (1 j2L
a a L jn ) 11 2 j2
anjn
1 j2L jn
(1) (123L n) a11a22 L ann
a11a22 L ann
计算主对角线行列式
a11 0 L 0 0 a22 L 0 M MMM
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a12 D a21 a22
a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
njn
j1 j2L jn
28
令右边行列式
a11 a2 L a1n
b11 b2 L b1n
M MMM
M MMM
at1 at 2 L atn 第s行 bs1 bs2 L bsn
M ML M
M ML M
as1 as2 L asn 第t行 bt1 bt 2 L btn
M ML M
M ML M
解：
a11 a12 L a1n
0 0L
ann
0
M
a22 M
L M
a2n
( j1 j2L jn )
(1) a a L a 1 j1 2 j2
njn
M j1 j2L jn
0
0
L
a nn
(1) a a L a a ( j1 j2L jn1n) 1 j1 2 j2
n1, jn1 nn
0 5
x1 x2 x3 x4 1
1 1 0 2
2 1 01
3 2 55
1 x3 1
1 1
1 1
1 27 3 29
2 1 1 1
3 2 15
1 1 1 1
1 1 1 0
2 1 1 0
3215
1 x4 1
1 1
1 1
1 9 1 29
a12 x2 a22 x2

b1 的解为 b2
x1

b1a22 a11a22
b2a12 a21a12
,
x2

a11b1 a21b2 a11a22 a21a12
用行列式表示：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11 b1
x2
a21 a11
b2 a12
定义3 逆序数为奇数（偶数）的排列，称为奇（偶）排列。
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。