例1
试判定级数


un

1 11
1
的收敛性.
n1
i1
解 所给级数的前n项和
n
n
Sn ui 1 11 1 n,
i1
i1
lim
n
Sn

lim n
n

,

因此所给级数 1 11 1 发散.
n1

例2 判定级数 r n1 1 r r 2 r n1 的收敛性.
解
注意到


n1
1 2n1
与
n13n51
皆为几何级数，
其公比分别为r 1与r 1 ， 23
由例4可知 n121n1 与 n13n51 皆收敛，且


n1
1 2n1

1 1 1

2,
2
n13n51

5 1 1

15, 2
3
由性质8.2可知



n1
n1
因此应有
lim
n
Sn

S
.
又设
n ku1 ku2 kun
k(u1 u2 un ) kSn ,
由极限的性质可知
lim
n
n

lim
n
kSn

k
lim
n
Sn

kS ,

即 kun 收敛，且其和为kS.
n1

(2)用反证法.若 un收敛，k 0,


性质2 若 u收n 敛，其和为S； v收n 敛，其和σ，则
n1
n1

必收敛(un，其vn和) 为
.
S
n1



推论 若 un收敛, vn发散,则(un vn )必定发散.
n1
n1
n1
例5
判定



n1
1 2 n 1

5 3n1
的收敛性.

1 1 1 n, 2 2 2 2
n项
可见
lim
n
n

，即添号以后的级散发散.因此原级数
亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以
后级数亦必收敛，从而矛盾.
级数
1

1 1
1

1

n1n
23
n
称为调和级数.

调和级数
1
n n
n

1 2

1 2


1

1

44


1


8

1

8
2项 22项
1
1
1
1
16
16


2
n1




2n1


23 项


2n2 项
定义9.2 称
n
Sn ui u1 u2 L un (n=1,2,L )

i1
为级数 un 的前n项和.简称部分和.
n1

由此可由无穷级数 ui ，得到一个部分和数列
i1
S1, S2 , , Sn , ，

若值Snl为im级Sn数的S 和存，在记，为则称 级un 数 Sn.1若un
综合之，本例应选A，C，D.

n1
收敛，并称此极限
lim
n
Sn
不存在，则称
级数 un 发散.
n1

定义9.3 若 un收敛，则称
n1
rn S Sn un1 un2

为级数 un 的余项.
n1


定义9.4 若un中每项un皆为数，则称 un 为数项级数.
n1
n1

若un 0(n 1,2, )，则称 un为正项级数. n1
n1
设


kun收敛，则由(ⅰ)知
n1


1
n1k
(kun
)


un
n1
亦收敛，矛盾.

故 kun 发散.
n1

例4 判定级数 arn1(a 0) 的收敛性.
n1
解 由例2与性质1可知


ar
n1为1
a
r
,
n1
发散,
| r | 1, | r | 1.

1 23

1 24


1 2n

收敛.
由性质8.3可知
1 23

1 24


1 2n
收敛.
性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和 不变.
证 若 u1 u2 un 收敛.任意添括号得到一个新 级数，如
n u1 (u2 u3 ) (uk um )
1 2n
1
1,
故所给级数收敛，且和为1.
二、 级数的基本性质

性质1 (1) 若级数 u收n 敛，其和为S，又设k为常数，
n1
则

kun
也收敛，且和为kS.
n1


(2)若 un发散，且k≠0，则 ku必n 定发散.
n1
n1

证 (1)设 Sn u1 u2 un ，由于 un 收敛，
n1
lim
n
un

0.
证 这只需注意 un Sn Sn1 .

由于 un 收敛，因此
n1
lim
n
S
n

S，lim n
S
n1

S.
由极限的运算可知
lim
n
un

lim (
n
S
n

S n1 )

lim
n
S
n

lim
n
S n1

S

S

0.
有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级
(1–1)+(1–1)+ ···+(1–1)+ ··· 收敛于0，但是去括号后可得新级数
1111 (1)n1 为发散级数.
以下命题请给出证明或反例.
(1)
若

un收敛，
vn发散，则

(un

vn
)
必定发散.
n1
n1
n1
(2)
若 n1un发散，n1vn也发散，则
n
Sn

1 1
r
，

即级数 r n1 收敛，且其和为
1
.
n 1
1 r
当|r|>1时，lim rn

n1 r


，因而
lim
n
Sn
不存在，即级
数 r n发1 散.
n 1

当r= –1时 ， rn1 1111 .其前n项和
n1
Sn
1111
34
n2
解
所给级数的通项 un

n 1 n2
，
lim
n
un

lim
n
n 1 n2
1

0,
可知 2 3 n 1 为发散级数.
34
n2
例9 思考题

设级数un为收敛级数，则下列级数收敛的有( )
n1




A. 2un ; B. (un 2); C. 2 un ; D. un.
u1 u2 um Sm (m n). 第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m
项之和.由于
lim
n
Sn
S
，所以
lim
m
S
m

S
.因此
lim
n
n

lim
m
S
m

S,
即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.
注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级 数.例如
(1)n1
0,
1,
n为偶数， n为奇数.
可知
lim
n
Sn
不存在.因此


(1)n1
n1
发散.
综合上述，可知


r
n 1
收敛，且和为

1
1
r
,
n1 发散, | r | 1.
| r | 1,

例3 判定级数
2
的收敛性.
n1(2n 1)(2n 1)

(un
n1

vn )不一定发散.



(3) 若(un vn )发散，则 un与 vn 不一定都发散.
n1
n1
n1
(4) 若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.

(5) 若un 发散，则添括号的新级数不一定发散.
n1

性质5 (级数收敛的必要条件) 若 u收n 敛，则必有
的收敛性相同.

性质8.3表明，级数un 的收敛性，与其前面有限
n1