大二篇
直接定义 1 / 0 = w，w是个“无限大”的数，不碰什么极限， 你总没话说了吧！ 而我们面对w立刻就遇到了问题。首先，w要怎么放入基本 的加减乘除体系里？1 + w等于多少？w - w等于多少？如果 你造了一个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有用对 吧。 比如直觉上，1 + w 应该等于 w，它都无限了嘛！ 而 w - w 则等于0，自己减自己嘛！ 结合律是否成立？ 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学建模的方法和步骤
方法A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各 用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60分钟
方法B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这 样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打 完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟 结论：后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个 看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事 实上是一个更合理的方案。
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
形成一个 比较清晰 掌握对象特征 的‘问题’ 明确建模目的
让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一 个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲， 最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接 触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占 多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。
分析
假设现在有2个水龙头，10个人来打水，每个人拎着两个壶，每 打一壶要1分钟，这是一种很常见的情况。
二、为什么不能除以零？

如果你问苹果手机上的Siri， “零除以零等于多少”，它 会显示：

英文版的Siri还会用语音说 这一段话 ：

十除以二等于五，六除以三等于 二，一除以零是多少？小学数学 就会告诉你，答案是不能除。但 是为什么？零也是个数字，它到 底哪里特殊了？
小学篇

小学算术里，把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成 一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼干 分给0个人呢？想象不出来嘛！所以不能除。
思路：设大儿子拿走100克朗后还有x USD 大儿子和二儿子拿的相等所以有 100+0.1*x=200+(0.9*x-200)*0.1 得到：x=8000 所以一共有8100USD，大儿子得了900USD，所以有9 个孩子，每个人得到900USD
数学的思维功能 爱因斯坦说：“只有数学中的推理才是无懈可击的。” 数学的教育功能 数学是人们不可或缺的科学工具 （打水问题）每天晚上5:00至5:30之间开水房的拥塞想必
数学与生活
方东辉 吉首大学数学与统计学院
第二讲 数学与日常生活
一、生日悖论


问题：n个人中至少有两人生日相同的概率是多少? 抽样：随机选取的23人中至少两人生日相同的概率居然超过 50％，50人中至少两人生日相同的概率居然达到97％！ 例如，假定一个中学有二十个班，每个班平均有50个学生， 你可以调查一下，大概会有十几个班都有至少两个相同的生 日的学生。这和人们的直觉是抵触的。因此这一结果被称为 “生日悖论”。
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
数学建模的一般步骤
调查研究 模型应用 模型假设 模型分析 与检验 模型建立 模型求解
我们碰到过的“数学模型”——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.

进一步：要是0个饼干分给0个人的话，本来无一物，好像就 没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的 呀，根本无法给出一个单一确定的数值。
初中篇 初中开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发 现，除法和乘法互为逆运算，所以问 1/0=? 就等于是解方程 0*x=1 按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满足x的 数字不存在，所以不能除。 同样，如果问 0/0=? 就等于是解方程 0*x=0 同理，任何数字都可以满足x，所以也不能除——无法确定一 个单一的答案。


首先计算50个人生日都不相同的概率： 第一个人的生日有365个可能性，第二个人如果生日与第一 个人不同，他的生日有364个可能性，依次类推，直到第50 个人的生日有316个可能性，所以50人生日都不同的可能组 合方式就是365乘364乘363一直乘到316，但由于每个人是 生日是独立的，总的可能组合365的50次方，这样一来，50 个人生日都不相同的概率就等于两个组合数之比，这个概率 非常小，只有3%， 至少两个人生日相同的概率等于1减去3%，得到97% 注意：如果预先选定一个生日，随机选取125人、250人、 500人、1000人，出现某人生日正好是选定生日的概率分别 大约只有30％、50％、75％、94％，比想象的小得多。
物理模型：
是为测试原型的物理及动力学特性，根据相似性原理对原型构造的模型。 它主要追求物理性能的一致，例如，航模飞机、实验模型等
符号模型：
是在一些约定或假设下，借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起 来对原型的描述。它主要追求框架结构与关系的关联特征，例如，分子结 构图，电路图、地图等
数学模型：是为了一定的目的，根据原型内在的规律 和本质属性，通过必要的简化假设，运用适当的数学 工具，而作的抽象、简化的数学结构。数学模型是一 种抽象的模拟，它用符号、式子、程序、图形等数学 语言刻划客观事物的本质属性与内在联系，是现实世 界的简化而又本质的描述。 数学模型的三个主要功能是：解释、判断与预测。 也就是数学模型能用来解释某些客观现象及发生的原 因；数学模型能用来判断原来知识，认识的可靠性； 数学模型能用来预测事物未来的发展规律，或为控制 某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策 略，为人们的行为提供指导。
数学的科学功能 数学模型和数学建模
原型：指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象.
模型：是指为了一定目的，对客观事物的一部分特征、属性，而进行简
化、抽象、提炼出来的原型的替代物
实物模型：
把原型尺寸按比例缩小或放大供展览或玩耍的实物。它主要追求外观的逼 真，例如，玩具飞机、昆虫标本、建筑模型等
数学建模：建立数学模型的全过程，包括问题的表述、求 解、解释、检验。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实 际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进 的数学方法及计算机技术进行求解。
数学建模是一种创造性的思维活动，没有统一模式 和固定的方法，在数学建模过程中需要充分发挥想象力， 善于联想，新颖而独特地提出问题、解决问题，并由此 产生有价值的新思想、新方法、新成果等。从而数学建 模也是培养和提高同学们想象力和创新能力的必备手段 之一。
数学思维
数学的益智功能 父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分遇产， 老大分１００USD和剩下的１／１０， 老二分得２００USD和剩下的１／１０， 老三分得３００USD和剩下的１／１０， 老四分得４００USD和剩下的１／１０ ．．．．， 依次类推分给其他的孩子，最后发现遗产全部 分完后所有孩子分得的遗产相等，遗产总数， 孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？


高中篇
等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式： 反证法。 已知 0*1=0 0*2=0 推出 0*1=0*2 两边同时除以零，得到 (0/0)*1=(0/0)*2 化简得到 1=2
思考
-1开平方，引进新的定义：虚数i 能否定义1/0???
大一篇 刚学微积分课程就会立刻接触到∞这个符号。咦，这不就是 “无限”嘛。我们都学了极限的概念了，那么我令b趋向于0， 然后把a/b的极限定义为无穷，不行吗？ 它的左极限和右极限不一样。b是从负的那头靠近0，还是正 的那头？这一个是越来越负，一个是越来越正，碰不到一起 去。这样的极限是没法定义的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ




大三。。。 大四。。。 研究生。。。 博士。。。 所以，当我们说不能除以零的时候，理由……竟然出乎意料 地充足。有许多直觉在数学里被推翻了，但是这一条没有。 我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因，虽然也 许听起来不如Siri的回答那么心暖（或者心寒），但这些理 性的愉悦也是一种美丽，对吧！！！