u
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u

反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y

Acos
t

x u


0

y

2
10
3
cos
400
t

x 20

m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2


2
x

0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
E

1 2
m02 A2

1 2
k A2
简谐振动能 量
主要内容
一、机械波 二、波动方程 三、波的能量和强度
u f w
T
2
u 20m/s 400
f 400 200Hz 2 2
2c 40 0.1m 400
P 98习 题10： 波 源的 振动 方程y


0.06 cos(
t)
9
x 5m处, y 0.06 cos （t x )
总机械能为：
dE = ρdVω2 A2 sin2[ω(t - x )] u
波的能量密度
• 波的能量密度ε：单位体积内的机械能


E总

A2 2 sin2 (t
x )
V
u
• 波的平均能量密度：能量密度在一个周期内 的平均值
1 T A2 2 sin2 (t x )dt 1 A2 2
y Acost
平面简谐波表示式的推 导
研究任意点 P 点振动表达式
振动从 O 点传播到 P 点需时：t x u
t 时刻P 点的位移等于O处质点在 时刻 (t x )的位移，
u 则P 处质点运动方程：
y Acos t x
u 平面简谐波波动方程
波动方程推导
y A
三、波的能量
• 平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处 的体积元V，在t时刻的动能和势能为：
Ek

Ep

1 2
VA2 2
sin2 (t

x) u
• 体积元V总机械能为：
E总

Ek

Ep

VA2 2
sin2
(t

x) u
说明： 波动中，动能和势能同时达到最大 和最小，步调一致。对任意体积元机械能都 不守恒。该体积元不断从后面的介质获得能 量传给前面的介质，这样能量随波动的传播 而向前传播，所以说波动是能量传播的一种 形式。
u
(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：
y

A cos (t 0

x) u

A cos (t 0

2πx )

反映：t0时刻波线上各质点的位移， 即该时刻的波形。
(3) 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。
y Acos(t x )
一、机械波
• 机械波的产生 • 横波、纵波 • 波阵面、波线 • 波长、波速、频率、周期
机械波的产生
• 机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。
在弹性媒质中，某一个质点因外界扰 动时，由于质点与质点之间存在着弹性联 系，周围的质点也会跟着振动起来，其振 动由近及远地传播出去，即产生机械波。
振动是波动的基础，波动是振动的传播
波阵面、波线
波线
波前
球面波 波阵面
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波阵面、波线
波线
波阵面 波前
平面波
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波长、波速、频率
u

fT

u f w
T
2
不同媒质中周期频率不变，波速波长不同
二、波动方程
• 波动方程推导
演示
• 波动方程推论
机械波产生条件： （1）机械振动：波源 （2）弹性媒质
机械波的特点： (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相 位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。
横波和纵波
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直， 则这种波称为横波。 例如在绳波；
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波。 例如声波。
y
u
A
O x
波源振动的初相位
P
u
波动方程正负号
波动方程其它形式
y

A cos [ ( t

x c
)


0
]
u w
T
2
y

A cos（t

2πx



）
0
y

Acos[2π( t T

x

)


0
]
λ、ω
λ、T
波动方程应用
• 已知波动方程求特征量 • 已知特征量求波动方程 • 已知波动曲线求波动方程
9u
y

6.0
10-
2
cos
（t

5 )
(m)
92

t，

（t

5 )


-
5

19 29 2
18
波传播能量
• 对于波来说，伴随着波形和相位的传播， 能量也将随之从一个地方被传递到另一个 地方。
• 在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动 速度而具有动能，而且因为发生了形变而 具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 着能量的传递。
T0
u2
波的能量密度
E总 A2 2 sin2 (t x )
O
u x
P
相位落后ωx/u
yo Acos t
y

A cos ( t

x )
u
波动方程推导
y
A
u
O
x
x
P
yo Acos t 0
y

A cos [ ( t

x u
)


0
]
波动方程
y
u
A
O
x
相位落后ωx/u
x
P c
相位超前ωx/u
沿X轴正方向传播： y Acos(t x )