(7)
式中，ωl 为低通滤波器的低通上限频率，用以反映
S K-T (ω ) =
ξ ω ω
(1 − (ω ω
ξ ω / ωg )
2
S0
(1)
基岩的滤波特性，并建议取ωl = 8π rad/s。 叶天义[8]、赖明 [9]等则视基岩为固有频率ωr、 阻尼比 ξr 的 SDOF 振子更完整地考虑其滤波特性， 则：
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工
程
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学
1 地震动功率谱模型的若干形式
地震动通常被视为过滤噪声过程。许多学者在 Kanai 和 Tajimi 所奠定的 K-T 谱的基础上尝试使用 不同形式的线性滤波器，用以改进地震动的功率谱 模型。这些模型主要分为一次滤波形式和多重滤波 形式两类[1]。 一次滤波形式的功率谱模型将地震动过程视 为线性滤波器对白噪声激励的输出，可以理解为具 有固有频率ωg 和阻尼比ξg 的 SDOF 线性振子(或质 量 - 弹簧 - 阻尼器系统 ) 在白噪声输入下以不同比例 分别作用于弹簧和阻尼器的结果。 著名的 K-T 谱即 是在弹簧和阻尼器等同受迫时的结果，记为 SK-T(ω)：
力
学
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式中，αj 为第 j 个滤波器的权重系数。而王广军[12] 曾提出采用多个 K-T 谱之和的想法。 除此之外，有些研究者并不注重功率谱模型的 物理意义而更侧重于模型与地震动记录数据之间 的拟合程度。但这类形式的地震动模型目前较少 采用。
方地面位移不趋于零，或者说位移反应谱趋于无限。 由于地面速度过程 v(t)和地面位移过程 d(t)的 功率谱为： 1 1 Sv (ω ) = 2 S x (ω ), Sd (ω ) = 4 S x (ω ) (14)
S x (ω ) =| H (ω ) |2 SK-T (ω )
聿贤等 采用的一阶高通滤波器：
[4]
(4)
比较具有代表性的如胡 其中滤波器 H(ω)形式多样，
S x (ω ) = ∑ α j
j =1
n
ω2 S 2 2 2 2 2 0 (ω 2 j + β j − ω ) + 4β j ω
(11)
工
程
2 σx = ∫ S x (ω )dω < ∞ 0
∞
∫0 ω
∫ 0 ω 4 S x (ω )dω < ∞ 。
∞
1
例如，对于 K-T 谱，据式(14)可知，随着ω趋 于零，地面速度和地面位移将趋于无穷，这显然是 不切实际的。过去虽然认识到这一点，但或者是出 于零频结构无现实意义的考虑，或者是顾虑到零频 含量的消除可能过低地估计低频含量，许多对 K-T 谱的修正没有进行零频含量的消除。事实上，下文 的分析表明，对于零频含量的消除，只是限制了零
Abstract: There are lots of proposed analytical models for strong ground motions, but it is difficult to choose a befitting one. Therefore, in the view point of practical engineering, the power random spectra of strong ground motions are summarized. Then the consideration of two basic conditions (the energy of strong ground motions is finite and the power random spectrum is zero when the frequency is zero, which are necessary to power random spectra of strong ground motions) is taken. Based the two basic conditions and the analytical result of 9 power random spectrums, an improved power spectrum of strong ground motions model is putted forward, and the rationality of the improved power spectrum is analyzed. Key words: strong ground motions; power spectrum; modeling; earthquake engineering; random vibration 地震动记录时程的分析、预测及模拟等需要借 助一定的数学模型来完成。作为地震学和地震工程 学的重要内容之一，地震动的模型化研究在过去的 几十年内取得了令人瞩目的进展，有多种模型相继 被提出和改进。多种多样的地震动模型增加了工程 应用中地震动输入的选择机会，同时也增大了选择 模型的难度，研究者需要根据所研究问题的目的和
ANALYSIS AND IMPROVEMENT OF POWER RANDOM SPECTRA OF STRONG GROUND MOTIONS FOR ENGINEERING PURPOSE
*
LI Ying-min1,2, LIU Li-ping1,2,3, LAI Ming4
(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 2. Key Laboratory of New Technique for Construction of Cities in Mountain Area, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 3. Structural Dynamics Laboratory, Chongqing Communications Research and Design Institute, Chongqing 400067, China; 4. Department of Science and Technology, Ministry of Construction, Beijing 100835, China)
(ω / ωh ) 4 2 (1 − (ω / ωh ) 2 ) 2 + 4ξ h (ω / ωh ) 2
(6)
牛 荻 涛 [6] 、 欧 进 萍 [7] 等 考 虑 基 岩 地 震 动 为 Markov 有色谱，用一阶低通滤波器修正 K-T 谱：
| H (ω ) |2 =
ωl2 ωl2 + ω 2
摘
要：地震动模型的多样化增加了工程应用中地震动输入的选择机会，同时也增大了选择的难度。首先对常用

的地震动功率谱模型进行了系统综述，提出地震动功率谱模型应满足地震动过程能量有限和零频含量为零的基本 条件，对比分析了 9 种常用随机功率谱模型的滤波特性和能量有界性，结合地震动功率谱模型的基本要求，给出 了建议的地震动功率谱模型，并对其合理性进行了分析。 关键词：地震动；功率谱；模型化；地震工程；随机振动 中图分类号：O324 文献标识码：A
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收稿日期：2006-07-27；修改日期：2007-02-08 基金项目：国家自然科学基金项目(50008017)；教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-06-0765) 作者简介： *李英民(1968―)， 男， 山东无棣人， 教授， 博士， 主要从事地震工程、 结构抗震研究和城市防灾减灾研究(E-mail: liyingmin@); 刘立平(1971―)，男，安徽太湖人，副教授，博士，主要从事结构抗震、结构工程研究(E-mail:zhhllp@)； 赖 明(1965―)，男，江苏徐州人，教授，博士，主要从事风工程、地震工程研究(E-mail: cqlaiming@).
式中，S0 为白噪声激励的功率谱。一般认为 K-T 谱 可以较好地反映均匀地基对地震波的滤波作用。 常中仁[2]把地震动看作由基岩和覆盖土层所组 成的两自由度系统在白噪声激励下的输出，试图通 过基岩和覆盖土层的耦合作用在一定程度上反映 出地震波在传播过程中的折射、 反射、 透射等现象。 可以推出[3]：
第 25 卷第 3 期 2008 年 3 月
Vol.25 No.3 Mar. 2008
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ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2008)03-0043-06
工程地震动随机功率谱模型的分析与改进
*
李英民 1,2，刘立平 1,2,3，赖 明 4
(1. 重庆大学土木工程学院，重庆 400045；2. 重庆大学山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆 400045； 3. 重庆交通科研设计院结构动力所，重庆 400067；4. 建设部科技司，北京 100835)
性质对其要求的输入模型作出自己的判断。 本文综述了地震动功率谱模型的常用形式，提 出地震动功率谱模型应满足地震动过程能量有限 和零频含量为零的基本条件，对比分析了 9 种常用 随机功率谱的滤波特性和能量有界性，结合地震动 功率谱模型的基本要求，提出了改进的地震动功率 谱模型，并对其合理性进行了分析。
| H (ω ) |2 =
1 + 4ξ r2 (ω / ωr ) 2 (1 − (ω / ωr ) 2 ) 2 + 4ξ r2 (ω / ωr ) 2
(8)
洪峰等 [10]在式 (5) 的基础上提出了三阶高通滤 波器，即：
A2 + B 2 S x (ω ) = 2 S0 C + D2
2 2 ⎧ A = −4ω 2ξ g ξ r ω g ωr + ω g ωr ⎪ ⎪ B = 2ω g ωr (ξ g ωr + ξ r ω g )ω ⎨ 4 2 2 2 ⎪ C = ω − ω (ω g + (1 + µ )ωr ) + A ⎪ D = −ω 3 (2ξ ω + 2(1 + µ )ξ ω ) + B g g r r ⎩