3.2等差数列的性质
教学目标：
1、掌握等差中项的概念和应用。
2、理解等差数列的简单性质。
3、理解和掌握等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-以及其推导过程。
教学重难点：
1、 等差中项的应用。
2、 等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-的推导及应用。
3、 等差数列其他性质的推究。
内容分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数列的性质。
教学过程：
1、 复习回顾：
等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示。
等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，（n=1、2、3……）
{}n a 是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列{}{}()212n n a a -还是等差
数列，公差是2d 。
新课讲授：
ⅰ思考题目：在x 、y 之间插入一个数A ，使得x 、A 、y 成等差数列，问A 与x 、y 之间有何关
系。
（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分析推导过程）
评讲及过程分析： A —x=y —A ………………（根据等差数列的定义）
2A=x+y
A=x 2
y + 归纳：若x 、A 、y 成等差数列，则A=
x 2y +。
提问 反过来若A=x 2
y +，是否能推倒出若x 、A 、y 成等差数列？ （先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A —x=y —A ，则x 、A 、y 成等差数列。
总结：x 、A 、y 成等差数列⇔ A=
x 2y +（充要条件） 定义：若x 、A 、y 成等差数列，则A 叫做x 、y 的等差中项。
拓展提问：
①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？
（中间项×2=两端项之和）
②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗?
（对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项
对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项）
例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？
分析讲解：设这3个数分别是x 、y 、z ，由9、x 、y 、z 、17成等差数列，等差数列中下标为
奇数的项也成等差数列，则
y=917132+=，x=9y 9131122++==，z=y 1713171522
++== ⅱ提问：等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，求n a ，若不知1a ，已知2a 是否可以求n a ？
34a a 、呢？（讨论思考）
解答分析：思路一
()11n a a n d =+- ()11n a a n d =+- ()11n a a n d =+-
=()12a d n d ++-（） = ()123a d n d ++-（） =()134a d n d ++-（） =()22a n d +- =()33a n d +- =()44a n d +- 观察：所求项的下标=已知项的下标+d 的系数
才想：是否可以一般化为()n m a a n m d =+- （请同学们思考，请同学回答）
讲评分析：()11n a a n d =+-① ()m 1m 1a a d =+-②
①-②得： ()()n 1111m a a a n d a m d -=+----=()m n d -
所以()n m a a n m d =+-（当m=1时，即为通项公式）
思路二：1231,m m n a a a a a a -、、成等差数列，将121m a a a -、去掉，余下的m n a a ，n-m+1
项仍为等差数列，则m a 为新的等差数列的首项，公差d 不变，由通项公式有
()()11n m m a a n m d a n m d =+-+-=+-；
问：n 、m 的大小有规定吗？
① n>m 时，从推导过程看成立；
② n=m 时，成立；
③ n<m 时，可将m n a a 和的位置调换：()m n a a m n d =+-，移项得：
()n m a a n m d =+-
总结：()n m a a n m d =+-成立，只需满足m +∈、n 即可。
例：等差数列中，183295,123,199n a a a ===，求n.。
（让学生思考解答）
首先确立函数的方程，由
()n m a a n m d =+- 有
()3218321812395142a a d d d =+-⇒=+⇒=
()()181821999521870n a a n n n =+-⨯⇒=+⨯-⇒=
归纳：两次运用了()n m a a n m d =+-
ⅲ 提问：从等差数列中取4项，下标分别为：n ,m ,k ,l 且n+m=k+l ，则相应的项,,,n m k l a a a a 有
什么关系？（请学生思考解答）
分析讲评：()11n a a n d =+-① ()m 1m 1a a d =+-②
()k 11a a k d =+-③ ()11l a a l d =+-④
①+②得 ()122n m a a a n m d +=++-
③+④得 ()122k l a a a k l d +=++-
由n+m=k+l 得()()112222a n m d a k l d ++-=++-
n m k l a a a a +=+
当k=l 时n+m=2k 2n m k a a a +=，k a 为n m a a 、的等差中项。
例 34567450a a a a a ++++=，问 28a a +=？（学生思考回答）
分析讲评： 374655290a a a a a a +=+=⇒=
则2852180a a a +==
巩固练习：
（1）已知3912912a a a ==，求
（2）{}n a 是等差数列，已知1649127a a a a +==问求
（3）3个数成等差数列，他们的和为18，平方和为116，求这3个数。
课堂小结：
（1）若x 、A 、y 成等差数列，则A 叫做x 、y 的等差中项，且满足
x 、A 、y 成等差数列⇔ A=x 2
y +（充要条件） （2）取等差数列中下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列还是等差数列，公差
是2d
(3) 等差数列通项公式的一般形式:()n m a a n m d =+-( m +∈、n )
（4）取等差数列中的4项，,,,n m k l a a a a ，若n+m=k+l ，则n m k l a a a a +=+
课后作业：
课本第115页，第3、10、11题。