=
������1������������−1
������1
=
4
+
3 2
=
121,������������
=
11 2
−1
3
������−1
������������
=
−3
2
+
������������
=
−
3 2
+
11 2
−1
3
������−1
, ������ ∈ ������.
������������+2 = ������������������+1 + ������������������
证明
证明：若数列 ������������ 满足������1 = ������,������������+1 = ������������������ + ������, 其中������ ≠ 0、1,证明：这个数列的通项 公式为������������ = ������������ + ������，其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列，������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
例1
已知数列
������������
满足：������1
= 4,������������+1
=
−
1 3
������������
− 2，
������ ∈ ������, 求������������的通项公式.
解：做方程������
=
−
1 3
������
−
2,解得������=−���32��� Nhomakorabea��.���
− ℎ）
������
已知数列 ������������ 满足：������1 = 4,������������+1 =
−
1 3
������������
−
2，������
∈
������,
求������������的通项公式.
31
3
������������+1 + 2 = − 3 ������������ + 2
������������+1
=
������������������ + ������ ������������������ + ℎ
−
������ 1−������
=
������������������−2
−
������������ 1−������
= ������
������������−2 − ������
= ������������������−2.
故数列 ������������ 是以������为公比的等比数列，������������ =
������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
一阶线性递推式型题目的做题步骤
1、做出方程������ = ������������ + ������,称之为特征方程；解
出������的值称之为特征根.
2、������������ = ������������ + ������，其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列，������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
一阶线性递推式型题目的做题方法
概念：一阶线性递推式：������������+1 = ������������������ + ������.
1、做出方程������ = ������������ + ������,称之为特征方程；解
出������的值称之为特征根.
2、������������ = ������������ + ������，其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列，������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
特征根法求数列的通项公式 一阶线性递推式: ������������+1 = ������������������ + ������ ������ ≠ 0、1
二阶线性递推式：������������+2 = ������������������+1 + ������������������
分式递推式：������������+1 = ������������������������������������++ℎ������（其中p、q、 r、h均为常数，且 ������ℎ ≠ ������������, ������ ≠ 0, ������1 ≠
证明：因为������ ≠ 0、1, 由特征方程得������ = 1−������������.
作换元������������ = ������������ − ������ ,则
������������−1
=
������������−1
−
������
=
������������������−2
+
������