第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。
了解柯西中值定理。
重点：理解中值定理及简单的应用。
难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf，于是)3,1(2∈=ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导．则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立．推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零，那么函数)(xf在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导，且1111)(22=+-+='xxxf（2）在开区间),(ba内可导，且0)(≠'xF，),(bax∈则在区间),(ba内至少有一点ξ，使等式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明（1）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值，即（ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）；（2）当xxF=)(时，1)(,)()(='-=-xFabaFbF，正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理．作业129P习题4.1（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，导数)(0x f '恒为正或恒为负，那么函数)(x f 在点0x 处没有极值．例1．求函数593)(23+--=x x x x f 的极值． 解 （1）函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，导数为)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，（2）令0)(='x f ，得3,1=-=x x ，（3）列表如下x)1,(--∞1- )3,1(-3 ),3(+∞ )(x f '符号+ 0—+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下，（1）求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（2）求出函数)(x f 的全部驻点（即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根）；（3）用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得)(x f 的全部极值． 例2．求函数32)1(x x y -=的极值．解 （1）函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -='，（2）令0='y ，得解 由导数0)1(222=-=-='x x y ，得1=x ．因为02>=''y ，所以1=x 为函数的极小值点，即有极小值2|1-==x y ． 又因为函数在开区间),(+∞-∞内只有一个极小值，故为最小值2|1-==x y ．二．最优化问题建立模型：建立拉格朗日函数()y f x =及相应的区间；利用求最值的方法求出函数的最值．例3．铁路线上AB 段的距离为km 100，工厂距离A 处为km 20，AC 垂直于AB ，为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3，为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？解 1）建立模型总费用与D 的选择有关，设x AD =，总费用y 与x 有关， 因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53，因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数），则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35=)100(340052x k x k -++（1000≤≤x ）， 2）现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为)34005(2-+='xx k y ，令0='y ，解方程得)(15km x =．又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，2100511500|+==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省．说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值，而且一定在区间内部取得，若0)(='x f 只有一个根，那么不必讨论)(0x f 是否作业 129P 习题4.4第五节 曲线的凹凸性与拐点（1课时）要求：会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。
会求函数图形的水平与垂直渐近线，会利用导数作函数的图形。
重点：曲线的凹凸性与拐点，函数的作图。
难点：复杂函数的作图。
问题提出 前面已经研究了函数的单调性与极值，这对于描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些还不能比较准确地描绘函数的图形，例如见图中有两条曲线弧，虽然它们都是单调递增的，但图形却有显著的不同．曲线ACB 是向上凸的曲线， 曲线ADB 是向下凸的曲线，它们的凹凸性不同，下面来研究曲线凹凸性及判别法．一、凹凸性的概念及判别法定义 设函数)(x f 在区间I 上连续，（1）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凹的（或凹弧）；（2）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凸的（或凸弧）．如 正弦函数x y sin =在区间],0[π上为凸的，在区间]2,[ππ上为凹的， 问题：如何判别函数的凹凸性？如果用定义判别太繁琐，由图形判别，一般用描点法不能准确的画出函数的图形，所以用函数二阶导数的符号判别，由图中容易看出：当导数)(x f '单调增加时，曲线是凹的；当导数)(x f '单调减少时，曲线是凸的，那么这种情况是否具有一般性？下面给出判别定理．定理 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数， （1）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(>''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；（2）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图形是凸的；例1．判别曲线x y arctan =的凹凸性． 解 因为211xy +='，22)1(2x x y +-='', 所以，当0<x 时，0>''y ，y 在区间)0,(-∞内的图形为凹的；当0>x 时，0<''y ，y 在区间),0(+∞内的图形为凸的； 在本例中，点)0,0(是曲线凹与凸的分界点——拐点．二、曲线的拐点连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点． 讨论曲线凹与凸及拐点，相当于讨论导函数的单调性及极值．因此，如果函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，我们就可以按下列步骤来判定曲线)(x f y =的拐点：（1）求出二阶导数)(x f ''；（2）令0)(=''x f ，解出这个方程在区间),(b a 内的实根；（3）对每一个点i x ，检查二阶导数)(x f ''在点i x 左、右两侧符号（),,2,1n i ⋯=，若)(x f ''在i x 两侧符号相反时，点))(,(i i x f x 是拐点；若)(x f ''在i x 两侧符号相同时，点))(,(i i x f x 不是拐点．例2．求函数32)1(x x y -=的凹凸区间及拐点． 解 因为3323)1(2xx x y -+='， 349)15(2xx y +=''，令0=''y ，得51-=x ，当0=x 时，y ''不存在．列表如下，x （51,-∞-） 51-（0,51-） 0),0(+∞ y '' — 0 + 不存在+凹凸性与拐点凸拐点)25165,51(3-- 凹 不是拐点 凹注意 二阶导数不存在的点也可能称为拐点．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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