3.1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a .思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法交换律a ＋b ＝b ＋a ，空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1―→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1―→成立，故③正确；④显然正确.故选B.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1―→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1―→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量. ③试写出与向量AB →相等的所有向量. ④试写出向量AA ′―→的所有相反向量.解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′―→，A ′A ―→，BB ′―→，B ′B ―→，CC ′―→，C ′C ―→，DD ′―→，D ′D ―→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′―→，D ′A ―→，A ′D ―→，DA ′―→，BC ′―→，C ′B ―→，B ′C ―→，CB ′―→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′――→，DC →及D ′C ′――→. ④向量AA ′―→的相反向量有A ′A ―→，B ′B ―→，C ′C ―→，D ′D ―→. 类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)AA ′―→－CB →； (2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→.解 (1)AA ′―→－CB →＝AA ′―→－DA →＝AA ′―→＋AD →＝AD ′―→.(2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→＝(AA ′―→＋AB →)＋B ′C ′――→＝AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→.向量AD ′―→、AC ′―→如图所示.引申探究利用例2题图，化简AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→. 解 结合加法运算AA ′―→＋A ′B ′――→＝AB ′―→，AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→，AC ′―→＋C ′A ―→＝0. 故AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n ―→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a －b ＝a ＋(－b ).(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a ＋b )＋c ＝(OA →＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →，a ＋(b ＋c )＝OA →＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝2AC ′―→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′―→＝AB →＋AA ′―→，AD ′―→＝AD →＋AA ′―→，∴AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′―→)＋(AD →＋AA ′―→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′―→). 又∵AA ′―→＝CC ′―→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′―→＝AB →＋BC →＋CC ′―→＝AC →＋CC ′―→＝AC ′―→. ∴AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝2AC ′―→.1.下列命题中，假命题是( )A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.空间中任意两个单位向量必相等 答案 D2.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1―→，BC →，B 1C 1―→，共3个.3.向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A.a ＝bB.a ＋b 为实数0C.a 与b 方向相同D.|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反.故D 正确.4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1―→；④(AA 1→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→.其中运算的结果为AC 1→的有________个. 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1→＋D 1C 1―→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1―→＝AB 1→＋B 1C 1―→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1→＋B 1C 1―→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.5.化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.1.一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.40分钟课时作业一、选择题1.下列说法正确的是( )A.零向量是有方向的向量B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →D.若AB →与CD →是相反向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 答案 A解析 规定零向量的方向是任意的，故A 正确；B 中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B 错误；对于选项C ，是必要条件，不是充分条件，因为AB →＝DC →时，有可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上. 2.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC →D.0 答案 A解析 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3.如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－cB.12(c ＋a )－bC.12(b ＋c )－aD.a ＋12(b ＋c ) 答案 C解析 AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋12(OB →＋OC →)＝－a ＋12(b ＋c ).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→ 答案 A解析 如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.5.在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设AA ′―→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，如图所示，用向量a ，b ，c 表示向量MN →等于( )A.a ＋12b ＋12cB.12a ＋12b ＋12cC.a ＋12bD.12a答案 D解析 MN →＝12BB ′―→＝12AA ′―→＝12a .故选D.6.判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ①假命题，当a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段. 二、填空题7.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________；DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1→ BD 1→解析 AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→.DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.8.对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是____________.(填序号) 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB →、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →在一条直线上且BC →与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|. 只有②一定不成立.9.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －a ＋b －c解析 如图，A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .10.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝2AC →. 三、解答题11.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式.(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′―→； (3)AB →＋CB →＋AA ′―→； (4)AC ′―→＋D ′B ―→－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′―→＝AC →＋AA ′―→＝AC ′―→.(3)AB →＋CB →＋AA ′―→＝AB →＋DA →＋BB ′―→＝DB ′―→.(4)AC ′―→＋D ′B ―→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′―→)＋(DA →＋DC →＋C ′C ―→)－DC →＝DC →.12.如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示.13.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，EF ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量.解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点. ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.所求向量AD →，AF →如图所示.。