27．1图形的相似关键问答①判断图形是否相似的主要方法是什么？②对于形状相同的两个图形，从数学角度怎么做阐述？③判断四条线段是否成比例的方法是什么？④由相似多边形的定义可以推出什么？1．①下列图形中相似的有()(1)放大镜下的图片与原来的图片；(2)放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象；(3)天空中两朵白云的照片；(4)卫星上拍摄的长城照片与用相机拍摄的长城照片．A．4组B．3组C．2组D．1组2．②如果两个相似多边形的一组对应边的长分别为3cm，4.5 cm，那么它们的相似比为()2 3 49A. B. C. D.3．③下列各组中的四条线段成比例的是()A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝5，b＝10，c＝7，d＝14D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝14．④如图27－1－1所示，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似，求未知边x的长度和未知角α的度数．图27－1－1命题点1图形相似的判断[热度：98%]5．下面各组图形中，不是相似图形的是()6.的？⑤图27－1－2观察图27－1－3中的图形，指出图(1)～(8)中的图形有没有与给出的图形(a)(b)(c)形状相同3294图27－1－3方法点拨⑤可考虑图形之间的水平长与竖直宽是否同时扩大或缩小.命题点2 识别成比例线段[热度：90%]7．下列长度的线段成比例的是()A．2cm，5cm，6cm，8 cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm，6cm，7cm，9 cm D．3cm，6cm，9cm，18 cm8.⑥若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝2cm，则d＝________ cm.解题突破a c⑥若线段a，b，c，d成比例，则有＝.b d9.⑦已知三条线段a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，若第四条线段与它们成比例，则这样的线段共有几条？它们分别为多长？易错警示⑦在没有明确成比例线段的顺序时，需分情况进行讨论.命题点3 比例尺[热度：90%]10．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是() A．1250 km B．125km C．12.5 km D．1.25km11．⑧如图27－1－4是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，则他的跳远成绩约是________m(比例尺为1∶300)．图27－1－4解题突破⑧跳远成绩指落地时身体距起跳线最近的落点到起跳线的垂线段的长．命题点4 识别相似多边形[热度：92%]12．下列图形中一定相似的是()A．有一个角相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰三角形C．有一个角相等的两个菱形D．有一组邻边对应成比例的两个平行四边形13.⑨如图27－1－5，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？图27－1－5方法点拨⑨判定相似多边形的条件是对应角相等，对应边成比例，欲说明两个多边形不相似，只需说明对应边不成比例或对应角不相等即可.命题点5 相似多边形的性质[热度：95%]14．如图27－1－6，已知六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似，点A，B，C，D，E，F的对应点分别是点G，H，I，J，K，L.若它们的相似比为2∶1，则下列结论中正确的是()图27－1－6A．∠E＝2∠K B．∠K＝2∠EC．BC＝2HI D．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长15．如图27－1－7，在矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为()图27－1－7A.5B．1＋5C．4D．2316．如图27－1－8，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.(1)求证：EB＝GD；方法点拨⑩添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．⑩(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝3，求GD的长．图27－1－817．平面图形相似的概念可以推广到空间立体图形．例如：任意两个球体都是相似的；任意两个正方体都是相似的．立体相似图形也有与平面相似图形相类似的性质．(1)猜想性质：棱长为1的正方体的体积V＝1，棱长为2的正方体的体积V＝8，棱长为3的正方体1 2V1 1 1 V11 1 V2 82的体积V＝27，…，可得＝＝()3，＝＝()3，＝＝()3，…，由此猜想立体相似图形具有下 3 V2 8 2 V327 3V327 3列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的________；解题突破⑪买哪种鱼合算可以转化成比较单位体积的鱼的价格大小．⑪(2)问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”都长得非常相似，按大小有两种不同的价钱，如图27－1－9所示，鱼长10 cm的每条10元，鱼长13 cm的每条15元．买哪种鱼合算呢？图27－1－9详解详析1．C2.A3.C16244．解：由题意，得＝，解得x＝18.12x∵∠C′＝360°－(63°＋129°＋78°)＝90°，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似，∴∠C＝∠C′＝90°，即α＝90°.5．B6．解：(a)与(4)(8)；(b)与(6)；(c)与(5)形状相同．2 6 13 3 7 3 9 1 7．D[解析] A 项中， ≠ ；B 项中， ≠ ；C 项中， ≠ ；D 项中， ＝ ＝ ，所以选项 D 中的四条 线段成比例．故选 D.a c 3 28．4[解析] 由线段 a ，b ，c ，d 成比例，可得 ＝ ，即 ＝ ，解得 d ＝4(cm)．b d 6 d9．解：设第四条线段的长是 x cm.1 3当 x ≥3 时，有 ＝ ，解得 x ＝6；2 x1 x 3当 2≤x <3 时，有 ＝ ，解得 x ＝ (不符合要求，舍去)；2 3 2 1 2 3当 1≤x <2 时，有 ＝ ，解得 x ＝ ；x 3 2 x 2 2当 x <1 时，有 ＝ ，解得 x ＝ .1 3 33 2所以这样的线段共有 3 条，它们的长分别为 6 cm ， cm 和 cm.1 0.0002510．D[解析] 设甲、乙两地的实际距离为 x km ，有 ＝ ，解之得 x ＝1.25.5000 x11．4.5[解析] 1.5×300＝450(cm)＝4.5 m.12．C[解析] 由菱形的四条边都相等，结合已知条件可得有一个角相等的两个菱形是相似的．28 1813．解：(1)不相似．理由：由题意得 AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而 ≠ ，故矩30 20形 ABCD 与矩形 A ′B ′C ′D ′不相似．A ′B′B ′C′ A ′B′ B ′C ′ 30－2x 20－2(2)若矩形 ABCD 与矩形 A ′B ′C ′D ′相似，则 ＝ 或 ＝ ，即 ＝AB BC BC AB 30 20或 30－2x 20－2 ＝ ，解得 x ＝1.5 或 x ＝9.20 3014．C[解析] 根据相似多边形的对应角相等可得 A ，B 错误．根据相似多边形对应边的比等于相似比 可得 C 正确．根据相似多边形的对应边的比等于相似比，可知周长比也等于相似比，D 选项也是错误的． 15．B[解析] ∵沿 AE 将△ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处，∴四边形 ABEF 是正方形． 已知 AB ＝2，设 AD ＝x ，则 FD ＝x －2，EF ＝2. ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴ EF AD 2 xFD AB x －2 2解得 x ＝1＋ 5，x ＝1－ 5(舍去)， 1 2经检验，x ＝1＋ 5是原方程的解且符合题意． 1∴AD 的长为 1＋ 5.16．解：(1)证明：∵菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ， ∴∠EAG ＝∠BAD ，∴∠EAG ＋∠GAB ＝∠BAD ＋∠GAB ， 即∠EAB ＝∠GAD .∵四边形 AEFG 与四边形 ABCD 都是菱形， ∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB ＝GD .5 8 2 46 9 6 18 2 2 3＝ ，即 ＝ ，(2)如图，连接 BD 交 AC 于点 P ，则 BP ⊥AC . ∵∠DAB ＝60°， ∴∠PAB ＝30°，1∴BP ＝ AB ＝1，AP ＝ AB2－BP2＝ 3.2∵AE ＝AG ＝ 3，∴EP ＝2 3， ∴EB ＝ EP2＋BP2＝ 13， ∴GD ＝ 13.17．解：(1)立方(2)设长度为 13 cm 和 10 cm 的鱼的体积分别是 V cm 3，V cm 3.1 2V1 13∵两种鱼相似，∴ ＝( )3＝2.197.∵10 15> ，∴购买 13 cm 长的鱼更合算．【关键问答】①主要看图形的形状是否相同，即将一个图形放大或缩小后得到的图形和原图形是相似的．②形状相同的两个图形，指的是对应角相等，对应边成比例的两个图形，即相似的两个图形． ③答案不唯一，如：将四条线段中长度最小的与最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等，若相等，则是成比例线段，若不相等，则不是成比例线段．④相似多边形的对应角相等，对应边成比例．V2 101 2.197。