如果任 E j ∈ D', ∃Ei ∈ D ，使 E' j ⊂ Ei ，称 D’比 D 细密。
137
设 Mi, mi (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) 分别是 f (x)
[ ] 于 xi−1, xi 上的上确界与下确界，令
f ( x) 是定义于测度有限集 E 上的有界函
{ } 数，对 E 的任一分割 D = Ei ，令 Bi 与
分的关系化为 R 积分进行。
（二） L 积分有关“绝对值”的性质
学习 L 积分的性质，除了掌握与 R 积分相似的初等性质外，更要注
意掌握 L 积分特性，例如三个有关“绝对值”的性质：
⑴ L 积分的绝对连续性：
f
(x)
于
E
可积，任一可测集
A
⊂
E
，有
lim
mA→0
∫A
f
( x)dx
=
0
。
或任一 ε > 0 ，存在δ > 0 ，当 mA < δ ，有 ∫A f (x)dx < ε 。
对比 项目
R 积分
[ ] 在 a , b 上任取 n-1 个点：
a=x0 <x1<x2 <⋅⋅⋅<xn−1<xn =b
[ ] 把 a , b 分成 n 个小区间： Δxi [= xi−1, xi] (i =1,2,⋅⋅⋅n)
[ ] 积分 则所有分点构成 a , b 的一个分割 T，
域
小区间长度记为： Δxi = xi−1, xi−1 ，
简单函数 → 非负可测函数 → 一般可测函数
2、 L 积分的三个有关绝对值概念的内涵、意义： L 积分的绝对连续性、绝对可积性、变上限积分的绝对连续性
3、 可测函数列的 L 控制收敛定理的意义与作用：是 L 积分理论中 最重要的结论之一，由简明条件所提供的积分与极限交换次序的 充分条件有广泛应用。
4、 L 积分与 R 积分的联系，用测度理论彻底解答 R 可积性问题： R 可积的充分必要条件是不可测集为零测集。
称 F 为 f 的原函数。
任意可积函数都有绝对连续的原函数。
L 积分下，微积分基本定理仅仅对于绝对连续的原函数成立。
(三) L-积分序列的极限定理
在 R 积分中，一致收敛的极限函数性质：
⑴若 1°每一 fn (x) 于 I 连续；
2° fn (x) 一致收敛于 f (x) ；
则①
f
(x) 于
I
连续，且 lim n→∞
数。 L 积分
1.任意分割 D 、 D' ，有 s(D. f ) ≤ S(D. f ) 。 2. D' 比 D 细密,有 s(D) ≤ s(D') ≤ S(D') ≤ S(D)
138
3. m = inf {f }, M = sup{f }
[a , b ]
[a , b ]
[ ] 对 a , b 的，任意分割 T，有
对比 项目
R 积分
大 1.任意分割 T 、 T ' ,有 和 s(T ) ≤ S (T ) （小和总不超过大和） 数 2. T ' 比 T 细密，有 与 s(T ) ≤ s(T ') ≤ S(T ') ≤ S(T )
小 （分割细密，小和不减，大和不增。）
和
数
的
主
要
性
质
分别称为 f ( x) 关于分割 D 的大和数和小和
（点
{ } 集） 记 T =maxΔxi 称为分割 T 的纯度或模。 1≤i≤n
的分
割
L 积分
设 E ⊂ Rn 是一个非空可测集，如果
n
E = U Ei ，其中各 Ei 为互不相交的非空 i=1
{ } 可测集，则称有限集 D = Ei 是 E 的一个
{ } 可测分割。设 D' = En' 是 E 的另一分割
第五章 Lebesgue 积分
本章是实变函数的中心内容，Lebesgue 积分称为勒贝格积分或 L 积 分。
一、内容结构
L 积分是在 L 测度论基础上讨论的积分，建立 L 积分的方法有 多种，更普遍地采用“非负简单函数→ 非负可测函数→ 一般可测函 数”这种由特殊到一般的递进方式，或“有界可测函数→ 有界集上无 界函数积分→ 一般可测函数的积分”的步骤建立 L 积分，并讨论 L 积分的初等性质。对积分序列的极限学习 L 积分的三大定理：勒维定 理、法都定理与勒贝格定理，这是 L 积分的中心结果。我们还要学习 L 积分意义下重积分交换次序的富比尼定理。建立了 L 积分后，把 R 积分与 L 积分进行比较，找出它们之间的区别、联系，用 L 测度的知 识完整地解答 R 可积的本质。由微分与积分的讨论，在 L—积分中推 广微积分基本定理。
m(b − a) ≤ s(T ) ≤ S(T ) ≤ M ⋅ (b − a)
3. b = inf {f }, B = sup{f }
E
E
对 D 的任意分割 D,有
b ⋅ mE ≤ s(D) ≤ S(D) ≤ B ⋅ mE
R 上积分：（大和的下确界）
∫ ab
f (x)dx = inf S(T , f ) T
130
收敛定理是 L 积分的重要结论；L 积分的绝对连续性是 L 积分的重要特 征，很多问题的证明用此性质；可测函数可以用连续函数平均逼近、零 测度集不影响函数的可积性及积分值等等是很有用的结论。对于 L 积分 性质的学习，要注意分清哪些只需积分有意义就成立，哪些必须函数可 积才成立。
3、函数列积分的极限定理理论上很重要，是全章的重点之一。注意 掌握几个定理各自的特点、条件、结论和相互联系，会用于解决问题。
虑有界集上无界可测函数积分、一般可测函数的积分，这种定义的优点
是刚接触 L—积分的概念较自然，容易接受；而不足也是因为与 R 积分
类比引入 L-积分，过于套用 R 积分的模式，掩盖了 L 积分特有的思想、
方法及优点，在理论上未能达到应用的简洁。
更多的实变函数教材中采用以简单函数的线性表示 L 积分为起点， 通过“三步”模式转为一般可测函数的 L 积分定义，具有简捷性，方法 特点有启发性，在现代数学中已被普遍接受。最大优点在于，由此定义
积分的绝对连续性是 L-积分的重要特征，在连续函数平均逼近定理、 可测函数列控制收敛定理、L 积分中牛顿—莱布尼兹公式的推广应用等 很多重要定理的证明中都用到此性质。
⑵ L 积分的绝对可积性：
f (x) L 可积的充分必要条件为 f (x) L 可积。
134
由此，对于 L 积分可积亦绝对可积。这一特性与 R 积分有所不同。
方法定义 L 积分，将 R 积分中的定积分、重积分、常义积分、广义积分 熔为一个整体，从高度的抽象中达到了高度的统一。
L-积分“三步”转化的主要思想如下。
L-积分研究的是可测函数的积分，根据可测函数的特性转化过程是：
①一般可测函数 f (x) ；
② f (x) 用非负可测函数表示： f (x) = f + (x) − f − (x)
有关问题。
勒维定理与法都定理，对 {f n }的不同条件而给出结论。
136
三、专题选讲
（一）L 积分的概念 1、定义引入的两种方式 ⑴积分和的定义方式——与 R 积分比较，采用确界式逐步引入定义。
第一步：积分点集 E 测度有限： mE < ∞ ； 被积可测函数 f (x) 有界： m < f (x) < M 。
② F(x)于 E 可积，且 f n (x) ≤ F (x) ；a、e 于 E， ③ fn (x) ⇒ f (x) ． 则 f (x) 于 E 可积，且
lim
n→∞
∫E
fn (x)dx = ∫E
lim
n→∞
fn
( x)dx
L-控制收敛定理是实变函数论的精华结论之一，它对于极限与积分
交换顺序的解决比 R 积分简单多了。由此可进一步解决“参变积分”的
上积
R 下积分：（小和的上确界）
分与
下积
∫ab f (x)dx = sup s(T , f )
T
分的 有： ∫ab f (x)dx ≥ ∫ab f (x)dx
定义
L
上
积
分
：
__
∫E
f (x)dx = inf S(D, f ) D
L
下
积
分
：
∫E f (x)dx = sup s(T , f ) D
有： ∫E f (x)dx ≥ ∫E f (x)dx
积分 若 ∫ab f (x)dx = ∫ab f (x)dx ，
若 ∫E f (x)dx = ∫E f (x)dx ， 称
定义
[ ] 称 f (x) 于 a , b R 可 积 ， 记 为 ： f (x) 于 EL 可 积 ， 记 为 ：
∫ab f (x)dx =∫ab fdx = ∫ab f (x)dx
[ ] a , b 积分区域， f (x) 是被积函数。
若 f (x) 于 [a ,b]L 可积，则
x
F (x) = ∫a f (t)dt + c
在 [a ,b]上是绝对连续的。 由此性质，我们进而研究 [a , b]上的勒贝格不定积分；
x
∫a f (t)dt + c
在什么条件下 L 积分意义下的微积分基本定理成立。
对于 L [a ,b]上的可积函数 f (x) ，只要 F '(x) = f (x) ，a.e 于 [a ,b]，
n→∞
ϕ
n
(
x)
=
f
(x) 。
定义
L
积分：
∫E
f
(x)
=
lim
n→∞