当前位置:文档之家› 傅里叶级数

傅里叶级数


x 与 y 正交,若(x,y)=0
R n 中的内积实质上是: R n 中的任意两元素通过史(7。3)有唯一的实数与之对应,
此对应具有上述性质(1)—(4) 。从这个意义上讲,我们可以在很多集合上定义内积。例 如,C[a,b],若 f,g ∈ C[a,b],定义
( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx
又可得到
∫ π cos mx cos nxdx = ⎨ ⎩0

π
⎧π
m=n m≠n m=n m≠n
∫ π sin mx sin nxdx = ⎨ ⎩0

π
⎧π
∫ πcos mx sin nxdx = 0

π
பைடு நூலகம்
这种性质为什么称为正交呢? 在线性代数中, R 表示 n 维向量的集合。两 n 维向量 x=( x1 , x 2 ...x n ) ,y=( y1 , y 2 ... y n )
a
b
(7。5)
容易验证由式(7。5)所定义的对应具有性质(1)—(4) 。称(f,g)为 f 与 g 的内积。同 样的,若 (f, g)=0 (7.6) 则称 f 与 g 正交。当 a= − π , b = π 时,三角函数系便在内积式(7。5)的意义下成为正交系。 这正是我们称之为正交的原因。
内积与正交的概念在 R 中的重要性是显然的,这种重要性对凡是能建立内积的集合 来说都是一样的,这使得该集合有了直观的几何特征。运用内积,是现代数学的一个重要方 法,是一门较深的数学课程“泛涵分析”研究的一个重要内容。许多问题,只有在内积引入 后, 才能得到彻底解决, 包括我们正在讨论的傅立叶级数。 有兴趣的读者在学完此门课程后, 可自学“泛涵分析” 。
n =1

π
π
π
−π
−π
−π

ak =
类似的,用 sin kx 乘式(7。2)两边,再从 −π 到 π 积分,利用正交性得
f ( x) cos kxdx π∫π

1
π
bk =
f ( x) sin kxdx π∫π

1
π
称式(7.7)给出的各数 a0 , an , bn (n = 1, 2,3,......) 为函数 f(x)的傅里叶系数。 从系数公式(7.7)看,只要 f(x)在 [−π , π ] 上可积,形式上的傅里叶级数总是存在的,
n
的内积定义为
( x, y ) = ∑ xi yi
i =1
n
(7。3)
内积具有下述性质: (1) (x+y, (2) (ax,
z)=(x, z)+ (y, z) y) =a (x, y)
(a 是任意实数)
(3) (x,y)=(y,x)
(4) (x,x) ≥ 0,
称两向量
等号成立当且仅当 x 是一零向量。 (7.4)
记为,
f ( x) ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
相关主题