= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
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2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
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§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
合位移: 合位移:
x2 = A2 cos(ω0t +α2 )
x = x1 + x2 = A cos(ω0t +α1 ) + A2 cos(ω0t +α2 ) 1
x = Acos(ω0t +α)
π v = Aω0 cosω0t +α + 2 = Asin(ω0t +α)
2 2 a = && = Aω0 cos(ω0t + α ) = Aω0 cos(ω0t + α + π ) x
v v 为一长度不变的矢量, 的始点在坐标轴的原点处, A为一长度不变的矢量, A的始点在坐标轴的原点处,记时起点 v =0时 t=0时,矢量 与坐标轴的夹角为 α ,矢量 A 以角速度 ω0 逆时针匀速 转动. 转动.
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1 ω ν= = T 2π
ω = 2πν
3. 振幅 定义:物体离开平衡位置的最大位移. 定义:物体离开平衡位置的最大位移. 振幅可以由初始条件决定.如:t =0时刻, = x0 , =0时刻 x 时刻, 振幅可以由初始条件决定. 由⑴式可得: 式可得:
v = v0x
& x0 = Acosα , x t =0 = v = Aω0 sinα
φ1
超前
φ2
;
(4)若 2π > (φ1 φ2 ) > π ,则称
φ1
落后 φ2 ;
相位差的不同,表明二振动有不同程度的参差错落,振动步调不同. 相位差的不同,表明二振动有不同程度的参差错落,振动步调不同.
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1 例1 一弹簧振子,t=0 时, x0 = A, v0 < 0 求振动的初位相. 一弹簧振子, 求振动的初位相. 2
2 ω0 Acos(ω0t + α + π )
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例1 (1)一简谐振动的运动规律为 x = 4cos(8t + π / 4) ,若计时起 点提前0.5s,其运动学方程如何表示?欲使其初相为零, 点提前0.5s,其运动学方程如何表示?欲使其初相为零,计时起点应提前或 推迟若干? 推迟若干? (2)一简谐振动的运动学方程为 x = 8sin(3t π ) , 若计时起点推 迟1s,它的初相是多少?欲使其初相为零,应怎样调整计时起点? 1s,它的初相是多少?欲使其初相为零,应怎样调整计时起点? (3)画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的 画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0时的旋转矢量的 位置. 位置.
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由此可见: 由此可见: ⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程. ⑵矢端的速度大小为 ω0 A ,在x 轴上的投影为: 轴上的投影为:
π ω0 Acosω0t +α + 2
矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为: ⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为:Aω2,在 x 轴上 0 的投影: 的投影:
f x = kx
由牛顿第二定律: 由牛顿第二定律:
k & m& = kx && + x = 0 x x m
k = ω2 ,可得到如下二阶常系数齐次线性方程: 可得到如下二阶常系数齐次线性方程: 令 m
& +ω 2 x = 0 & x
( 1)
2
&& x +ω 2 x = 0
( 1)
弹簧振子作简谐振动的动力学方程. 弹簧振子作简谐振动的动力学方程.
x = Acos(ω0t +α ) = Acosφ v = Aω0 sin(ω0t +α ) = Aω0 sinφ
可得: cosφ = 可得:
x v ; sinφ = A Aω0
( 3)
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若已知初始条件:t =0时, 若已知初始条件: =0时
x = x0 , v = v0x
,则⑶式有: 式有:
( 2)
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
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3. 复摆
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆.如图示: 任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆.如图示:
一刚体悬挂于O 一刚体悬挂于O 点,刚体的质心C 距刚体的悬挂点O 刚体的质心C 距刚体的悬挂点O 角增加的方向为正方向, θ 角增加的方向为正方向,即:z 轴 & θ 很小时: 垂直纸面向外, 垂直纸面向外,M = mga sinθ = Iθ& , 很小时: z θ ≈ sinθ ,故: 之间的距离是a 之间的距离是a.选
α
决定, 决定,
三, 简谐振动的图象:x-t 图线 简谐振动的图象:
描述:质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移. 描述:质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移. 中学里经常作正弦,余弦函数的图象,故不再多讲,请看书. 中学里经常作正弦,余弦函数的图象,故不再多讲,请看书.
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四, 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动. 用旋转矢量的投影表示简谐振动. 如图示: 如图示:
因此, 因此,
2 A = x0 + 2 v0x 2 0
ω
( 2)
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4. 位相和初位相
还须知道 α 才能完全决定系统的运动状态. 才能完全决定系统的运动状态. 叫简谐振动的相位. φ = ω0t +α 叫简谐振动的相位. 当 t = 0 时, φ = α 叫初相位. 初相位. 由: 振动系统的状态指:任意瞬时的位移和速度.但仅知振幅频率还不够, 振动系统的状态指:任意瞬时的位移和速度.但仅知振幅频率还不够,
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§9-3 简谐振动的能量转换
简谐振动系统的总机械能守恒. 简谐振动系统的总机械能守恒. 由弹簧振子系统: 由弹簧振子系统:
而 因此, 因此,
& v=x =-Aω0 sin (ω0t +α ) 1 2 1 2 Ek = mv = mA2ω0 sin 2 (ω0t +α ) 2 2 2 ω0 = k / m
判断方法:是否简谐振动,看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴. 判断方法:是否简谐振动,看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴
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§9-2 简谐振动的运动学
本节主要讲解:根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程,并讨论简谐运动 本节主要讲解:根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程, 的运动学特征. 的运动学特征.
§9-1 简谐振动的动力学特征 一. 基本概念
1. 平衡位置 质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等于零, 质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等于零,该位置即为平 衡位置. 衡位置. 2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移) 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移) 成正比,且指向平衡位置,则此作用力称作线性回复力. 成正比,且指向平衡位置,则此作用力称作线性回复力. 公式:f x 公式:
& dv dθ v & τ : mg sinθ = maτ = m = ml = mlθ& dt dt
v v2 n : T mg cosθ = m
l
若 θ 很小,则近似: θ 很小,则近似: sin 因此, 因此,
2 2 & θ&+ω0θ = 0, ω0 =
& ≈θ,则: θ&+ l g
l θ =0 g
因此, 因此,
& θ&+
mga θ =0 I
2 & , θ&+ω0θ = 0
mga: 任何物理量 x(例 : 长度, 角度 ,电量等)的变化规 长度,角度,电量等) 律满足方程⑴ 律满足方程⑴式, 且常量 该物理量作简谐振动. 该物理量作简谐振动. 决定于系统本身的性质, ω0 决定于系统本身的性质,则
= kx , k > 0, x 是相对于平衡位置的位移. 是相对于平衡位置的位移.
3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动. 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动.