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【跟踪训练 1】 若函数 f(x)＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f(x)其余的零点．
解 由题意知 f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0，a＝6， ∴f(x)＝x2＋x－6. 解方程 x2＋x－6＝0，得 x＝－3 或 2. ∴函数 f(x)其余的零点是 2.
(2)若连续不断的曲线 y＝f(x)在区间[a，b]上有 f(a)·f(b) ＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( × ) (2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 y＝f(x) 的零点为(x1,0)，(x2,0)．( × ) (3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)<0.( × )
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(3)零点的存在性定理是不可逆的，因为 f(a)·f(b)<0 可以 推出函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)·f(b)<0.如 图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但 f(a)·f(b)>0.
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探究1 求函数的零点 例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝x2＋x4－x－2 12.
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第三章 函数的应用
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
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1．函数零点的概念
函数的零点： □1 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0
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探究2 判断函数零点所在的区间 例 2 若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－ c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
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2．做一做 (1)( 教 材 改 编 P88T1) 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ 3x 的 零 点 是 _0__和__－__3_． (2)(教材改编 P88 例 1)若函数 f(x)在区间(2,5)上是减函 数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数 f(x) 在区间(2,5)上零点的个数是____1____． (3)已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，图象连续不断，若 计算得 f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区 间为__(_1_.2_5_,_1_._5_) __．
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(2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不 能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有 f(a)·f(b)<0，但 图(1)中函数在区间(a，b)内有 4 个零点，图(2)中函数在区间 (a，b)内仅有 1 个零点．
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的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 注意：函数的零点不是一个点，而是 f(x)＝0 的根． 2．方程的根与函数零点的关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔ □2 函数 y＝f(x)的图象与
x 轴有交点 ⇔ □3 函数 y＝f(x)有零点．
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解 (1)解方程 f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得 x＝－1 或 x＝－ 6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1，所以函 数的零点是－1.
(3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得 x＝log26，所以函数的 零点是 log26.
3．零点的存在性定理
□4 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x) 在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0， 这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
注意：(1)函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0 不 一定成立．
(4)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
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(4)解方程 f(x)＝x2＋x4－x－2 12＝0，得 x＝－6，所以函数 的零点为－6.
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拓展提升 求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种 方法：
(1)令 y＝0，解方程 f(x)＝0 的根就是函数的零点； (2)画出函数 y＝f(x)的图象，图象与 x 轴交点的横坐标 就是函数的零点．
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『释疑解难』 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且 在两端点处的函数值 f(a)，f(b)异号，则函数 y＝f(x)的图象 至少穿过 x 轴一次，即方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一 个实数根 c.