8－2 信号的采样和复现的数学描述
一、 采样过程
所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得
到一串脉冲序列信号)(t e *。
可见在采样瞬时，)(t e *
的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即
)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。
因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，
如图8－9所示。
采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为
∑∞
∞
==
-n nT)-(t )(δδt T
(8－1)
其中=n 0,±1,±2,…
)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为
∑∞
-∞=*
-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ
(8－2)
通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此
+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ
+-+)()(nT t nT e δ
(8－3)
或
∑∞
=*
-=0
)()()(n nT t nT e t e δ
(8－4)
式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。
然而，一个值得提出的问
题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全
部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。
下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱
假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*
()e t 的富氏变换式用*
()E j ω表示，下面我
们来看)(ωj E *
的具体表达式。
由于理想脉冲序列)(t T δ是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即
∑∞
-∞
==
n t
jn T s e
T
t ωδ1
)( （8－5）
其中T s πω2=为采样角频率。
将式(8－5)的结果代入(8－2)式得
∑∞
-∞
=*
==n t jn T s e t e T t t e t e ωδ)(1)()()(
（8－6）
根据复位移定理；若[()]()F e t E j ω=，则
[()]()at F e t e E j a ω
±=
因此，式(8－6)的富氏变换式为
∑∞
-∞
=*
*
-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([ωωω (8－7)
假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *
的频谱如图8－10(b )所示。
由图8－10，可得到如下结论：
(1)0=n 的项为
)(1
ωj E T
，通常称为基本频谱。
它正比于原连续信号)(t e 的频谱。
(2) 同时派生出以s ω为周期的，无限多个高频频谱分量
)(1
s jn j E T
ωω-，其中=n ±1， ±2,…。
h
以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。
从富氏变换及其反变换的有关定理可
知，在一定条件下，原函数)(t e 与其富氏变换式)(ωj E 是一一对应的，亦即由富氏变换式)(ωj E 可以唯一地还原成原函数)(t e 。
可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。
那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T 倍，就能完全重现原信号。
由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(t e *
来复现采
样前的连续信号)(t e ，采样频率s ω必须大于或等于连续信号)(t e 频谱中最高频率max ω的两倍，即
max 2ωω≥s
(8－8)
这就是有名的香农(Shannon)采样定理。
这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样
过程会损失任何信息。
由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max 2ωω<s 时，则将会出现如图8－12所示的频谱重
叠现象。
很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。
另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。
因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。
三、 零阶保持器的数学模型
零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。
因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT 时刻的采样信号值一直保持到第T n )1(+时刻的前一瞬时，把第T n )1(+时刻的采样值一直保持到
T n )2(+时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(t e *变成一个连续的阶梯信号)(t e h 。
因为在每一个采
样区间内)(t e h 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH ”来表示。
如果把阶梯信号)(t e h 的中点连起来，则可以得到与)(t e 形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T
的响应曲线)2
(T
t e -，如图8－13中的虚线所示。
由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。
为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。
零阶保持
器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。
零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T 的矩形波，如图8－14(a )所示。
为了求
其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图8－14(b )所示。
于是，脉冲过渡函数可表示为
)(1)(1)(T t t t y --=
相应的拉氏变换式为
s
e e s s s Y Ts
Ts ---=-=111)(
这就是零阶保持器的传递函数，即
s
e s G Ts h --=1)(
(8－9)
而零阶保持器的频率特性为
22
)
2sin(1)(T T T T j e j G T j h ωωωωωω-∠=-=-
其频率特性曲线如图8－15所示。
与理想滤波器图8－11相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。
不过
零阶保持器的频率特性不很理想。
信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。
此外，零阶保持器具有2T ω的相角迟后。
因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。
零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。
如
果将零阶保持器传递函数中的Ts
e 项展开成幂级数，并取前两项，则有
1
11111111)(+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-Ts T
Ts s e s s e s G Ts Ts h 这是就图8－16所示RC 网络的传递函数。