i ( x) ---基函数
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数；
有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
三、列运动方程例题
例1. m y(t )
EI EI
y(t )
P(t )
=1
11
P(t )
l
(t ) m y
l
l
2l 3 11 3EI 3EI my (t ) 3 y (t ) P(t ) 2l
例2.
y(t )
m y(t )
l
EI
=1
11
1P
P(t)
(t ) m y
11)
W=1
y2

y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
10)
12)
m
EI
W=13 W=2
§1.4
体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的 “动静法”。 m
EI EI
(t ) m y
P(t )
y(t ) m (t ) y
P(t )
y(t ) R(t )
l/2
(t ) m y
1
R1P (t )
k11
P(t )
R(t ) 0
k11 y(t ) R1P (t ) 0
P/ 2 R1P m y
k11 24 EI / l 3
EI EI
l l
k2
EI1
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
例5.
P(t )
EI
y (t ) ---P(t)引起的动位移
st
---重力引起的位移
质点的总位移为
st y(t )
Y (t ) y(t ) st
l/2
m
W
l/2
加速度为
(t ) (t ) Y y
二、刚度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
1
y
k11
k11 y(t )
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
3EI k11 3 刚度系数 l 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
k11 11 1Байду номын сангаас
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
7l 3 12 21 486 EI
例7. P (t ) 2
m2
EI1
y2 (t )
P2 (t )
y2 (t )
2 (t ) m2 y 1 (t ) m1 y
k2 P 1 (t )
k1
y2 (t )
m1
EI1
y1 (t )
P 1 (t )
y1 (t )
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), l 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. 24 EI
P(t )
EI
m
EI1
EI
l
k
11
1
l3
1
k
EI1
EI EI
1 11 k
12EI / l 3 12EI / l 3
P(t ) P(t )
l Pl/4
l/2
EI
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
EI
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
(t ) m y
1
(t )] y(t ) st 11[ P(t ) W m y
st W 11
11
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
48EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
结构动力学
哈尔滨工业大学 土木工程学院 结构力学教研室 张金生 2004年7月
结构动力学
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪论 单自由度体系的振动分析 有限自由度体系的振动分析 实用计算方法 无限自由度体系的振动分析 动力有限元分析 分析动力学
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 王光远等译 科学出版社 《结构动力学》赵光恒主编 水利水电出版社 《建筑结构振动计算》郭长城主编 建工出版社 《建筑结构振动计算续编》郭长城编著 建工出版社 《结构动力学》邹经湘主编 哈工大出版社 《应用分析动力学》王光远编著 科学出版社 《DYNAMICS OF STRUCTURES》Anil K.Chopra
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
例4.
m
l/2 P(t )
EI1
P(t )
m
(t ) y
(t ) P(t ) m y
运动方程
P(t )
惯性力
(t ) m y
(t )] 0 P(t ) [m y
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
1
R2 (t )
k 21
k 22
k12
y1 (t )
R1 (t )
=
1
k11
y1
k 21
k11
y2
k 22
k12
R1 P 1 m1 y1 k11 y1 k12 y2 2 k21 y1 k22 y2 R2 P2 m2 y
k2
k1
k2
1 k11 k12 y1 y P1 m1 0 2 k21 k22 y2 y P2 0 m2 k y P 刚度矩阵 m y
1 y y1 11 12 P 11 12 m1 0 0 m y y 0 2 2 2 21 22 21 22
简记为
1 (t ) m1 y
P(t )
(t ) m y
l
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 3EI
柔度系数
3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
1
2 (t ) m2 y
y P m y
加 速 度 向 量
11

21
1
1 (t )] [ P(t ) m1 y
位移 向量 柔度矩阵 荷载向量 质量 矩阵
1 (t )] [m1 y
12
22
4l 3 11 22 243EI
11
22
[P 1 m1 y1 ]
22 1/ k1 1/ k2
21 1 / k1 12 1 / k1
1
1 / k1 1 / k1 1 / k 1 / k 1 / k 1 2 1
k11 k1 k2 k21 k2 k12 k2
k1 k 2 k 2 k k k 2 2
k22 k2
例7. P (t ) 2
m2
EI1
y2 (t )
P2 (t )
y2 (t )
2 (t ) m2 y 1 (t ) m1 y
21
1
1 y y1 11 12 P1 m1 0 ( ) 2 y y2 21 22 P2 0 m2 ) y (P m y
11 1 / k1
例6.
y1 (t )
l/3
1 (t )] 12[m2 2 (t )] y1 (t ) 11[ P(t ) m1 y y
P(t )
m1
EI
l/3
m2 y2 (t )
l/3
1 (t )] 22[m2 2 (t )] y2 (t ) 21[ P(t ) m1 y y