山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。
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指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日浅谈复积分的计算方法摘要复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来.本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨.关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Discussion on the computational methods of complex integrationABSTRACTComplex integration entails Complex integration.In the analysis of the complex function theory,Complex integration is an important tool for analytic functions.Many important properties of analytic functions must use the complex function points to prove that the Cauchy integral theorem in a key position in the calculation of the complex integral theory,Therefore,Complex integral calculation is particularly important ..The integral in the complex variable function is not only an important tool for the study of analytic functions,Also the basis for its successor course integral transforms , integral calculation of the complex function method summary and discussion is very necessary.Cauchy integral formula , Cauchy order derivative formula and residue theorem has played a significant role in the calculation of complex integration.The residue theorem can not only be used to calculate the complex integration,And can be used to calculate the real integral,It organic combination of real integral and complex integration of knowledge ..This paper discusses the intrinsic link between the stay theorem Complex integration,And illustrates the residue theorem, the close relationship between the Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula and the Cauchy higher derivative formula.This article will use the basic principles of Complex integration,The basic method for finding several complex integration,Give examples for each type of calculation,And by the Cauchy integral theorem, Cauchy's integral formula, Cauchy higher derivative formula of the residue theorem to calculate the complex integration,Which reveals the many ways the intrinsic link,Make a more systematic method of calculation of the complex integral summarized,Generalize from seeking complex variable of the function of problem-solving methods and plex variable integral function closed curve and non- closed curves of two types of.In this paper, the method of calculating these two points were summarized and discussed.Keywords：Complex integration ; Cauchy's integral theorem ; Cauchy integral formula ; the residue theorem目录一、复变函数积分 (4)（一）复积分的概念 (4)1．有向曲线 (4)2．复积分的定义 (4)3．定义说明 (5)二、复积分的计算 (5)（一）函数沿非闭曲线的积分的计算 (5)1．定义法 (5)2．参数方程法 (5)（二）函数沿闭曲线的积分的计算 (9)1．参数方程法 (9)2．积分定理 (9)3．挖奇点法 (10)4．积分公式 (12)5．高阶导数公式 (12)三、复积分计算的其他方法 (16)（一）留数定理及其应用 (16)1．留数的定义 (16)2．留数定理 (16)3．留数的计算 (17)附录 (19)参考文献 (19)一、复变函数积分㈠、复积分的概念1、有向曲线: (1-1-1)设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。
如图1-1-1所示。
如果A 到B 作为曲线C 的正向,记为C 。
.那么B 到A 就是曲线C 的负向, 记为C 。
-。
.一般曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向,记为C 。
-。
.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向记为C 。
.顺时针方向为负方向，记为C 。
-.对区域的边界线C 而言, C 的正向是指当曲线上的点P 沿此方向前进时, C 所围区域始终在 P 点的左方.单连通区域的边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。
多连通区域的外边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。
.内边界线C1的正向沿顺时针方向；记为1c -.2、复积分的定义 （1-1-2）设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分。
l 为积分路径，记为()lf z dz ⎰【若l 为围线（闭的曲线），则记为()lf z dz ⎰ 】.()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.如图（1-1-2）所示。
3、定义说明（1）如果C 是闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记为()cf z dz ⎰ .（2）如果C 是x 轴上的区间a x b ≤≤，而()()f z u x =，这个积分定义就是一实变函数积分的定.二、复积分的计算（一）函数沿非闭曲线的积分的计算1．定义法定义：设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分.l 为积分路径，记为()lf z d z ⎰【若l 为围线（闭的曲线），则记为()l f z d z ⎰ 】.()()1lim lim nn k k ln n k f z dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.例1、命c 表连接a 及b 的任意曲线，试求cdz ⎰.解：因()()111,,nn kk k f z s zz b a -===-=-∑故max||0lim,k n n z s b a →∞∆→=-即cdz b a =-⎰.2．参数方程法在简单光滑曲线上连续,欲计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+ (常遇到的是圆弧或直线段) ;第二步:求出()lf z dz ⎰,将()(),,,u x y v x y 代入其中;第三步:将积分化为关于的定积分，并计算该定积分。