第6章压电式传感器习题第6章压电式传感器1、为什么压电式传感器不能用于静态测量，只能用于动态测量中？而且是频率越高越好？2、什么是压电效应？试比较石英晶体和压电陶瓷的压电效应3、设计压电式传感器检测电路的基本考虑点是什么，为什么?4、有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力P=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压：(1)零度X切的纵向石英晶体；(2)利用纵向效应的BaTiO3。
解：由题意知，压电晶体受力为F=PS=10×106×20×10-6=200(N)（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10-12C/N 等效电容36120101010205.41085.8---?????==d S C r aεε=7.97×10-14(F)受力F产生电荷Q=d11F=2.31×10-12×200=462×10-2(C)=462pC输出电压()V C Q U a a3141210796.51097.710462?=??==--（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10-12C/N 等效电容361201010102019001085.8---?????==d SC r aεε=33.6×10-12(F)=33.6(pF)受力F产生电荷Q=d33F=191×10-12×200=38200×10-12(C)=3.82×10-8C输出电压()V C Q U a a312810137.1106.331082.3?=??==--5、某压电晶体的电容为1000pF，k q=2.5C/cm，电缆电容C C =3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求：(1)压电晶体的电压灵敏度足K u；(2)测量系统的高频响应；(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?解：（1）cm V pF cm C C K K a q u/105.21000/5.2/9?===（2）高频（ω→∞）时，其响应i c a q i c a m am u C C C k C C C d F U K++=++==33()cm/V.F cm/C.8121017610503000100052?=?++=-（3）系统的谐振频率()i c a n C C C R++==11τω()()s rad2471050300010001011126=?++?=-由()()2/1/n n am im U U Kωωωωω+==，得()%51/1/2-≤-+=n nωωωωγ（取等号计算）()()[]22/19025.0n nωωωω+=()29025.09025.0nωω+=解出(ω/ωn)2=9.2564→ω/ωn=3.0424ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)（4）由上面知，当γ≤5%时，ω/ωn=3.0424当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)又由ωn=1/RC，则C=1/ωn R=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84?104pF 6、分析压电加速度传感器的频率响应特性。
若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f 0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。
解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意()[]()%21/4/112222=-+-=n nωωζωωγ（取等号计算）则()[]()02.1/1/4/12222=+-n nωωζωω1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2+4×0.52(ω/ωn)2=0.96(ω/ωn)4﹣(ω/ωn)2+0.04=0解出(ω/ωn)2=0.042或(ω/ωn)2=0.96（舍去）所以ω/ωn=0.205或-0.205（舍去）ω=0.205ωn则f H=0.205f0=0.205×30=6.15(k Hz)压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性()()()221/1/ωτωτωωωωω+=+=n nK由题意得()%2112-≤-+=ωτωτγ（取等号计算）()2198.0ωτωτ+=(ωτ)2=0.9604+0.9604(ωτ)2(ωτ)2=24.25ωτ=4.924ω=4.924/τf L=ω/2π=4.924/(2πτ)=4.924/(2πRC)=4.924/(2π×5×108×10-9)=1.57(Hz)其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15k Hz7、石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。
材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。
一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。
若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：(1)两极板间电压峰—峰值；(2)晶体厚度的最大变化。
解：（1）石英压电晶片的电容36120101101001.51085.8---?????==d SC r aεε=4.514×10--12(F)≈4.5pF由于R a=1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω则总电阻R=R a//R并=1014//108≈108Ω总电容C=C a//C并=4.5+20=24.5(pF)又因F=0.01sin(1000t)N=F m sin(ωt)Nk q=2pC/N则电荷Q=d11F=k q FQ m=d11F m=k q F m=2pC/N×0.01N=0.02pC所以()()212838312211105.241010110101002.01--???+???=+=RC R F d U m imωω=0.756×10-3(V)=0.756mV峰—峰值：U im-im=2U im=2×0.756=1.512mV（2）应变εm=F m/SE=0.01/(100×10-6×9×1010)=1.11×10-9=Δd m/dΔd m=dεm=1×1.11×10-9(mm)=1.11×10-9mm厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值）Δd=2Δd m=2×1.11×10-9=2.22×10-9(mm)=2.22×10-12m8、用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。
(g为重力加速度)解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度K=K q?K u=5pC/g×50mV/pC=250mV/g=U o/a式中，U o为输出电压；a为振动系统的加速度。
则当输出电压U o=2V时，振动加速度为a=U o/K=2×103/250=8(g)5-8用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz 时灵敏度下降不超过5％。
若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?解：由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为()%51/1/2-≤-+=n nωωωωγ，（取等号计算）()2/195.0/n nωωωω+=(ω/ωn)2=0.9025+0.9025(ω/ωn)2ω/ωn=3.04τ=1/ωn=3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC所以R=τ/C=0.484/(500×10-12)=9.68×108Ω=968MΩ9、已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。
解：由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为()[]()%51/4/112222≤-+-=n nωωζωωγ()[]()05.1/1/4/12222=+-n nωωζωω（取等号）(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0解出(ω/ωn)2=0.0485或(ω/ωn)2=1.912（舍去）则ω/ωn≈0.22ωH=0.22ωn则f H=0.22f0=0.22×32=7.04(kHz)10、某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。
解：当传感器受压力1.4Pa时，所产生的电荷Q=80pC/Pa×1.4Pa=112pC输出电压为U a=Q/C a=112×10-12/(1×10-9)=0.112(V)11、一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。
试确定三次试验中的被测力的大小及性质。
解：测力环总灵敏度K=3.9pC/N×10mV/pC=39mV/N=U0/F式中，U0为输出电压，F为被测力，所以F1=U01/K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N(压力)F2=U02/K=10×103mV/39mV/N=256N(拉力)F3=U03/K=﹣75×103mV/39mV/N=﹣1923N(压力)12、某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d 11=2.31X10-12C/N。
当0.1MPa压力垂直作用于P X平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压U a的值。
解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷Q并=2Q=2?d11F=2?d11?πr2=2×2.31×10-12×0.1×106×π×(1×10-2)2=145×10-12(C)()()()907.01.04212242=?++-n n nωωωωωω=145pC总电容C并=2C=2ε0εr S/h=2ε0εrπr2/h=2×8.85×10-12×4.5×π×(1×10-2)2/0.2?10-3 =125.1×10-12(F)=125.1pF电极间电压为U并=Q并/C并=145/125.1=1.16V。