x
称 函 数 y f(x )在 点 x 0 处 可 导 ，
称 这 个 极 限 l i x m 0 y x 为 函 数 y f( x ) 在 点 x 0 处 的 导 数
记 为 y xx0， d dy xxx0或 dfd(xx) xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
且 f '( a ) f'( a 0 ) ， f '( b ) f'( b 0 )
几何意义
f ( x0 )表 示 曲 线 y f ( x)
y
在 点 M ( x0 , f ( x0 ))处 的
切 线 的 斜 率 ,即
f ( x0 ) tan , ( 为 切 线 与 x轴 正 向 的 夹 角 ) o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为：
y
y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
yf(x)
T
法线方程为：
M
o
x0
x
yy0 f(1x0)(xx0)
可导与连续的关系
定理：可导→连续 （逆否命题）不连续→不可导 （逆命题）连续→可导？不一定 例：y=|x|在x=0处连续，但在x=0处
不可导。
y (0 )x l 0 im y(x x ) 0 y(0 )x x 0 1
其它形式
f(x 0) lh i0f m (x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
记 为 y xx0， d dy xxx0或 dfd(xx) xx0
关于导数的说明：
★ 导 数 是 因 变 量 在 点 x 0 处 的 变 化 率 ， 它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化 而 变 化 的 快 慢 程 度 . ★ 如 果 函 数 yf(x)在 开 区 间 I内 的 每 点
若在区间(a,b)内，恒有f′(x)=g′(x)，则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+ 其中C为某个常数。
练习
p39 例47 例48
第四节 洛必达法则
可转化为洛必达的形式
例
例
例
解
例 例
练习 p43 例51 例57
第五节 导数的应用
• （一）求曲线的切线方程与法线方程 • （二）函数的单调性与极值 • （三）函数的最值 • （四）曲线的凸凹性
处 都 可 导 ， 就 称 函 数 f(x)在 开 区 间 I内 可 导 .
★ 对 于 任 一 x I,都 对 应 着 f(x )的 一 个 确 定 的
导 数 值 。 构 成 一 个 函 数 关 系 。
称 函 数 f(x ) 的 导 函 数 ， 记 作 y ,f(x ) ,d y 或 d f(x ). d x d x
（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则 f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b] 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a, 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
f '(a)limf '(x) xa
f '(b)limf '(x) xb
称 为 导 函 数 的 右 极 限 称 为 导 函 数 的 左 极 限
★ 设 f(x)在 闭 区 间 [a,b]连 续 ， 开 区 间 (a,b)内 的 可 导 ， 记 导 函 数 为 f'(x) 若 f'(a0)存 在 ， 则 f(x)在 a点 右 可 导 ， 若 f'(b0)存 在 ， 则 f(x)在 b点 左 可 导
明显:
f(x0)f(x)
。
xx0
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
y (0)x l 0 im y(xx ) 0 y(0)x x01
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接 由方程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量， 依复合函数链式法则求之。
极值是一个局部概念 ，只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小。 而最值是对整个定义域而言，是一个整体性的概念。
由参数方程确定的函数求导法则
对数求导法
练习
• p28
• 例1 36
例5 例8 例16
例23 例24 例25 例31 例
第二节 微分
先看个例子：
微分的运算法则
复合函数的微分
这个性质称为一阶微分形式不变性。 练习 p36 例37 例40 例44
第三节 微分中值定理
推论 若函数f（x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。
第一节 导数
（一） 导数的概念与性质
定义 设 函 数 y f ( x ) 在 点 x 0 的 某 邻 域 有 定 义 ，
当 自 变 量 x 在 x 0 处 取 得 增 量 x 时 ， 函 数 y 的 增 量 y f(x 0 x ) f(x 0 ) ； 如 果 y当 x 0时 的 极 限 存 在 ，
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★ f( x ) 在 开 区 间 ( a ,b ) 内 的 导 函 数 为 f'( x )