高等数学教案—一元函数微分学的应用课 时 授 课 计 划第一课时教学过程及授课内容 教学过程一、柯西中值定理定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间],[b a 上连续；(2)在开区间),(b a 内可导；(3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得二、洛必达法则把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞∞型不定式(也称为0型或∞∞型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法．定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ；(2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ；(3)A x g x f x x =''→)()(lim0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。

令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得.f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F ()ξξ'-='-)()()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．注：上述定理对∞→x 时的0未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型∞∞，也有相应的法则． 例1 求123lim 2331+--+-→x x x x x x ．解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim1-→x xx =46=23． 例2求x xx tan cos 1limπ+→．解 xx x tan cos 1lim π+→=x xx 2πcos 1sin lim -→=0．例3 求 x x x 1arctan 2lim -+∞→π解 xx x 1arctan 2lim -+∞→π=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1．除未定型00与∞∞之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例．例5 求⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为未定型． x x x x x x x xx x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→xx x x x x x 1ln 1ln 1lim 1-+-+=→x x x x ln 11ln lim1+-=→21111lim 21=+=→xx xx .在使用洛必达法则时，应注意如下几点：(1)每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3)当(x)g (x)f ''lim不存在(不包括∞的情况)时，并不能断定g(x)f(x)lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限．三、课堂练习 思考题 . 习作题思考题答案1．法则的三个条件必须同时满足．2．不一定 （提示：画出一条曲线段，使其上任意一点处切线均不与两端点连线平行习作题答案1．①2; ②1; ③1; ④1-．2．①1; ②e （提示：利用对数恒等式得)1ln(11ln e)1(,e x xx xx xx x +=+=）．3．1-． 四、小结1. 柯西中值定理2. 洛必达法则五、布置作业P86 1.（1）（2）（3）（4）（5）2.第二课时教学过程一、拉格朗日中值定理定理1 如果函数)(x f 满足下列条件：（1）在区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导，那么，在),(b a 内至少有一点 ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ如果令a b x a x -==Δ,，则上式为x ξf x f x x f Δ)(')()Δ(=-+其中ξ介于x 与x x Δ+之间，如果将ξ表是成)10(Δ<<+=θθx x ξ，上式也可写成 )10(Δ)(')()Δ(<<∆+=-+θθx x x f x f x x f . 二、两个重要推论推论1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)('≡x f ，则在),(b a 内C x f =)(（C 为常数）．证 设21,x x 是区间),(b a 内的任意两点，且21x x <，于是在区间],[21x x 上函数)(x f 满足拉格朗日中值定理的条件，故得由于0)(='ξf ，所以0)()(12=-x f x f ，即)()(21x f x f =因为21,x x 是),(b a 内的任意两点，于是上式表明)(x f 在),(b a 内任意两点的值总是相等的，即)(x f 在),(b a 内是一个常数，证毕．推论2 如果对),(b a 内任意 x ，均有)()(x g x f '='，则在),(b a 内)(x f 与)(x g 之间只差一个常数，即C x g x f +=)()(（C 为常数）．证 令)()()(x g x f x F -=，则0)(≡'x F ，由推论1知，)(x F 在),(b a 内为一常数C ，即),(,)()(b a x C x g x f ∈=-，证毕．三、函数的单调性如图观察区间],[b a 上的单调递增函数)(x f 的图像，当x 增大时，曲线上任一点处的切线与x 轴正向夹角为锐角，即0)(>'x f （个别点处0)(='x f ），反过来是否也成立呢？我们有如下定理：212112()()()()(),f x f x f ξx x x ξx '-=-<<定理2 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则有 （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； （2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在 ],[b a 上单调减少． 证 设21,x x 是],[b a 上任意两点,且21x x <，由拉格朗日中值定理有))()(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，又012>-x x ，于是有0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f >,由于21,x x )(21x x <是],[b a 上任意两点，所以函数)(x f 在],[b a 上单调增加．同理可证，如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少，证毕．函数单调区间的确定：（1）求出使0)(='x f 的点（称这样的点为驻点），（2）用这些驻点将)(x f 的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.例 讨论函数323)(x x x f -=的单调性．解 因为323)(x x x f -=, 所以)2(336)('2x x x x x f -=-=,令0)(='x f 得驻点：01=x ，22=x ,用它们将)(x f 的定义区间),(+∞-∞分成三个部分区间：)0,(-∞，)2,0(，),2(+∞.当)0,(-∞∈x 时，有0)(<'x f ；当)2,0(∈x 时0)(>'x f ;当),2(+∞∈x 时，0)(<'x f ，因此，由定理2知，函数)(x f 在区间)0,(-∞与),2(+∞上单调减少，在区间)2,0(单调增加．四、课堂练习 思考题 . 习作题思考题答案 1．不一定成立．2．①罗尔定理−−−←−−→−特例推广拉格朗日中值定理;②不一定成立;③在（1，2），（2，3），（3，4）内分别存在一个根．3．提示：对罗尔中值定理，画出一条曲线存在水平切线，且至少破坏定理的某一条件．习作题答案单增区间()0,∞-; 单减区间()+∞,0． 五、小结1. 拉格朗日中值定理2. 两个重要推论3. 两个重要推论六、布置作业P86 3 4 5 6第三课时教学过程一、函数的极值定义：设函数)(x f 在0x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点)(0x x x ≠，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；同样，如果对此邻域内任一点)(0x x x ≠，均有)()(0x f x f >,则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点0x ，称为极值点。

观察可导函数在取得极值处切线特征，可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点0x 处,必有0)(0='x f ,于是有下面的定理．定理1(极值的必要条件)设)(0x f 在点0x 处具有导数,且在点0x 取得极值 ,那么0)(0='x f ．证 只证)(0x f 是极大值的情形．由假设，)(0x f '存在,所以0000)()(lim )()(lim )(00x x x f x f x x x f x f x f x x x x --=--='-+→→,因为)(0x f 是)(x f 的一个极大值,所以对于0x 的某邻域内的一切 x ,只要0x x ≠,恒有)()(0x f x f <．因此,当0x x >时, 有0)()(00<--x x x f x f 于是,有0)()(lim 0x x x f x f x x --+→≤0，当0x x <时，0)()(00>--x x x f x f ，所以00)()(lim 0x x x f x f x x ---→≥0，从而得到0)(0='x f ．类似可证)(0x f 为极小值情形，证毕．函数极值点特征：对于可导函数由定理1知，可导函数)(x f 的极值点必是)(x f 的驻点．反过来,驻点却不一定是)(x f 的极值点．如0=x 是函数3)(x x f =的驻点，但不是其极值点．对于连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的，称这种点为尖点．例如，x x f =)(，但0=x 处导数不存在,但是，0=x是它的极小值点。