3
求 y 1 x3 4 的极值 3
y
思考：导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗?
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f (0 )=0
o
x
f (a)=0
a是极值点，f (a)是极值
求函数y=f (x)的极值的方法是：
解方程 f (x)=0. 当 f (x0) = 0 时 (1)如果在x0附近的左侧 f (x)>0, 右侧 f (x)<0,
x<b f (x)>0
x=b f (b)=0 x>b f (x)<0
点b叫做函数y= f (x)的极大值点 f (b)叫做函数y=f (x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注: 极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质,与最值不同.
1、函数的极值 2、求函数的极值的方法
课本第32页习题1.3A组4,5题
跟踪训练：求y =(x2－1)3+1的极值.
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2
新疆 王新敞
奎屯
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
新疆 王新敞奎屯新 Nhomakorabea 王新敞
奎屯
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x) 的极大值点和极小值点.
例：求函数f x 1 x3 4x 4的极值.
3
解： f ' x x2 4 x 2x 2
令 f x 0， 得 x = 2, 或 x = -2;
当 f (x) > 0, 得 x > 2 , 或 x < -2; 当 f (x) < 0, 得 -2 < x <2;
那么f (x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 f (x)<0, 右侧 f (x)>0,
那么f (x0)是极小值.
求下列函数的极值
1 f x 6x2 x 2;
2 f x x3 27 x;
3 f x 6 12 x x3;
4 f x 3x x3.
f
极大值：f(d) f(f) f(h) 极大值点：d , f , h 极小值：f(c) f(e) f(g) 极小值点：c , e , g 注: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
下图是函数y=f (x)的图象,试找出它的极值点,并 指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
极小值点 极大值点
探究
如图,函数y=f (x)在a, b, c, d, e, f, g, h等点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f (x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近,y=f (x)的导数的符号有什么规律?
f
x<a f (x)<0
f (x)>0 x>a
x=a f (a)=0
点a叫做函数y= f (x)的极小值点 f (a)叫做函数y=f (x)的极小值;
函数的极值与导数
授课教师：彭静
复习
1、函数单调性与其导数正负的关系 2、用导数求函数单调区间的步骤
跳水运动中高度随时间变化的函数图像
t=a时 h最大
h(a)=0
t<a 单调递增
t>a 单调递减
h(t)>0
h(t)<0
问题1：a点附近的图象有什么特点? 图象先增后减
问题2：导数的符号有什么变化规律? h(t)先正后负且h(t)是连续变化
x , 1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1,
y - 0 - 0 + 0 +
y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
x (-∞,-2) -2 (-2,2)
2 (2,+∞)
f (x) +
0
f (x) 单调递增↗ 极大值 28
3
-
0
单调递减↘ 极小值 4 3
+
单调递增↗
当x=-2时, f (x)有极大值,并且极大值为
f 2 28；
3
当x=2时, f (x)有极小值,并且极小值为
f 2 4 .