−
1
2N
e
1 dv
（1.5.25）与（1.5.26）式中的 0.5，是认为对“1”码进行误判的误码率近似等于 对“0”码进行误判的误码率。
这二个错误判决之和就为系统的误码率总 Pe = Pe0 + Pe1。 把(1.5.25）与(1.5.26）代入，并进行变量变换处理并化简可得：
(1.5.27） 式中：
因为我们的最终目的是求光接收机的灵敏度，而灵敏度的定义是在规定误码率要求 的条件下，光接收机所需要的最小光功率；因此所以相关参量都应该以光接收机的输入 端为参考点来表示，即折算到光接收机的输入端。
假定无论是雪崩噪声还是热噪声，其概率密度分布皆服从高斯分布，则判决点 为“0”码时的总噪声概率密度为：
1.APD 光接收机
(1). APD 光接收机灵敏度的一般表达式 由（1.5.13）与（1.5.19）式知，当判决点为“0”码时，判决点总的噪声功率（包 括雪崩噪声与热噪声）为：
(1.5.23）
N0=
hυ G x Em
η
Σ1
− 2
I1
+
⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞ 2
Z G2
上式中的第二项即热噪声的表达式，已经折算到光接收机的输入端。
由(1.5.10）、(1.5.12）、(1.5.20）式知，各噪声参量 Σ1、I1、I2、I3 与光接收机 的输入波形 hP(t)及输出波形 ho(t)密切相关，所以要想做出 Σ1、I1、I2、I3 的通用数 据表格，还应该知道 hP(t)与 ho(t)。
对于光接收机的输入波形 hP(t)，我们可以假定它为高斯波形。但虽然都为高斯波， 但其具体形状却有区别，它主要由其根均方宽度 σ 描述。同样是为了做出通用表格，我 们用相对脉宽 α=σ / T 来描述光接收机输入端的高斯波特性，即高斯波形的根均方宽度 σ 相对于传输速率的码元宽度 T 的相对量。
知道了系统发送端的光脉冲波形 hS(t)与光纤的传输特性如冲击响应 hf(t)，再假定 发送端的光脉冲波形为矩形波，则由（1.4.6）式通过卷积计算就可以得到光接收机输入 端高斯波形 hP(t)的相对脉宽 α。只不过其计算相当繁琐。
玻尔松尼克（S.D.Personick）通过实验后提出了一个结论：要保证系统的可用性， 一般要求光接收机输入端高斯波的相对根均方宽度 σ < 0.30。
（1.5.34）
Pr = 10 ㏒（Pr’ /10-3）
(3). 影响 APD 光接收机灵敏度的因素
从(1.5.33)式可以看出，APD 光接收机的灵敏度与下列因素有关： ①.APD 光二极管的量子效率 η 量子效率 η 越高，接收机的灵敏度越高；两者成正比关系，即量子效率每提高 一倍，灵敏度改善 3dB。 ②.APD 的雪崩噪声指数因子 X 对灵敏度的影响比较复杂，难以用简单的代数 关系表示。但总的来讲 X 值越小越好，X 值降低 0.1，灵敏度提高约 1dB。 Si－APD 的 X 值最小，为 0.3~0.5；但由于材料性能所限，它只能用于短波长。Ge －APD 虽能用于长波长，但其 X＝1.0 为最大。只有 InGaAs－APD 既能用于长波长， 其 X 值也适中，X＝0.5~0.8。 ③.放大器热噪声因子 Z Z 值越小，灵敏度越高。Z 值每降低一个数量级，灵敏度会改善 1.5~2dB。因此仔 细设计放大器，努力降低其热噪声性能，仍然是提高 APD 光接收机的重要手段。 降低 Z 值的途径一是选择优质的器件，如选择高跨导的 FET 或高放大倍数的双极 性晶体管；二降低光接收机输入端总电容 CT。 由(1.5.19)式知，Z 值近似与 CT 的平方成正比，因此降低 CT，Z 值会大大减小， 自然会改善灵敏度。因为 CT 是光接收机输入端的总电容，即 APD 光二极管的结电容 Cd、放大器输入电容 Ci 和杂散电容 CS 的总和。因此为了降低 CT，最好采用集成工艺 把 APD 光二极管与前置放大级集成在一起。这样可以使 CT 从原来的 10PF 降低到 5PF 以 下，灵敏度会改善 1.5~3dB。
(1.5.25）
∫ 1 +∞
Pe0 = 2 d
1 2π σ
0
(v − v )2
−
0
2N
e
0 dv
式中的 d 为判决门限。 同理，对“1”码错误判决的概率是如图 1.5.3 中 Pe1 所代表的面积部分 ，即对 p1 的积分：
(1.5.26）
∫ 1 d
Pe1 = 2 −∞
1 2π σ
1
(v − v )2
⎟⎟⎠⎞1+
x
r1
=
∑12
2 −
I 12
⎜⎛ ⎜⎝
−
∑1
+
∑ 12
+
(∑
2
1
−
I12
)
4(1 + x2
x)
⎟⎞ ⎟⎠
r2 =
∑1 + 2
I1
+
1
r1
+
∑1 − 2
I1
+
1
r1
从（1.5.30）式可以看出，APD 最佳增益 GOPT 的大小取决于多种因素，如放 大器的热噪声因子 Z，误码率要求（即 Q 值），光接收机的雪崩噪声（即 r1、r2）等。
⎟⎟⎠⎞
2
Q
4G
2
x
I2
1
−
4⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞
2
Q
2
Z G2
=0
解上述关于 Em 的一元二次方程，可得一个“1”码光脉冲具有的光能量：
E
m
=
hυ η
Q
2
G
x
⎜⎛ ⎜⎜⎝
∑
1
+
2
∑
2
1
−
I12
4
+
Z Q2G2 + 2x
⎟⎞ ⎟⎟⎠
于是在一般情况下，APD 光接收机灵敏度的通用表达式为：
Pr ’ =
对于光接收机的输出波形 ho(t)，我们希望经均衡器的均衡之后的输出波形为滚降 因子 β =10.5 或 β =1 的升余弦波。
于是根据(1.5.10）、(1.5.12）、(1.5.20）式，可以算出参量 Σ1、I1、I2、I3 的具 体数值，如表 1.5.1 所示。
至于光接收机输入高斯波形 hP(t)的相对脉宽 α，其数值大小与收发间的距离、光 纤的传输特性（如根均方带宽 σ f 、色散系数）等密切相关。收发间的距离越长、光纤 的根均方带宽 σ f 越大或色散系数越大，高斯波的相对脉宽 α 越大。
如果把雪崩噪声的概率分布也用高斯分布来近似描述，可使理论分析大大简化，它 由玻尔松尼克（S.D.Personick）在 1973 年提出，实践证明，这种近似是比较合理的。
1980 年，CCITT 对该方法略加修正，推荐给大家使用。 CCITT 对该方法的修正，就是在计算光接收机的雪崩噪声时，原方法计算的是全“1” 码流情况下的雪崩噪声（最坏情况噪声）；修正后计算的雪崩噪声则是“1”码与“ 0” 码等概率出现情况下的雪崩噪声，见（1.5.13）与（1.5.14）式。 实际上修正前后的灵敏度计算结果差别并不大，但修正后的理论处理更合理。
1 2
BEm
(w) (1.5.29)
=
1 2
hυ η
BQ 2G
x
⎜⎛ ⎜⎜⎝
∑1
+
2
∑
2
1
−
I
2
1
4
+
Z Q2G2 + 2x
⎟⎞ ⎟⎟⎠
(2). 最佳增益 APD 光接收机灵敏度
从(1.5.29)可以看出，APD 光二极管的增益 G 对光接收机灵敏度 Pr 的影响是矛盾 的，即并非 G 值越大越好。而且以前我们也曾经讨论过，G 值越大，APD 光二极管产 生的光电流虽然越大，但与此同时产生的雪崩噪声也越大。
实践与理论证明，APD 存在着一个最佳增益 GOPT，当 APD 光二极管处于最佳增 益状态时，它的光电流最大，而产生的雪崩噪声最小。
对(1.5.28）式关于 G 进行求导，并令：∂ Em / ∂ G = 0；并求解最后可得：
(1.5.30) 其中：
(1.5.31)
1
GOPT =
⎜⎜⎝⎛
Zr1 Qr 2
p= 0
1 2π σ
0Hale Waihona Puke (v−v )2−0
2σ 2
e
0
式中：
σ0 为“0”码时的均方噪声,即 N0 =σ02；
v0 为“0”码时的瞬时信号电压。 p0 的分布如图 1.5.3 所示。
p0
p1
Pe1 Pe0
t
∞
V0
d
V1
∞
图 1.5.3：判决点的噪声概率密度分布（高斯分布）
而由（1.5.14）与（1.5.19）式知，当判决点为“1”码时，判决点总的噪声功率（包 括雪崩噪声与热噪声）为：
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
Σ1
1.0727 1.1330 1.2281 1.3761 1.6079 1.9803 2.6062 1.0412 1.0961 1.2030 1.4087 1.8228 2.7455 5.1563
(1.5.28）
Em =
Q N1 + N0
Q 为品质因数，即“1”码光脉冲的光能量 Em 与总均方根噪声功率之比。 把(1.5.28）式消除根号，并代入 N1 与 N0 的表达式即(1.5.23)与(1.5.24)式，并进 行整理、化简得：
E2
m
− 2 hυ Q2 ∑ G x E