第十二章全等三角形一、基础知识梳理1、全等形：即能够的图形叫全等形。
（1）全等的图形必须满足：（a）形状相同的图形；（b）大小相等的图形；（2）、能够叫做全等三角形。
对应顶点：和；和；和；对应边： = ； = ； = ；对应角： = ； = ； = ；(3)全等三角形的表示:全等用符号表示,读作: .2、图形变换的三种方式是：、、。
经过这三种变换前后的图形 .3、全等三角形的性质（1）全等三角形相等；（2）全等三角形相等；(3）全等三角形周长、相等。
4、全等三角形的判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等。
简写成“”。
几何语言：(如右图所示)在△ABC和△DEF中（2）两边和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简写成“”。
几何语言：(如右图所示)在△ABC和△DEF中（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简写成“”。
几何语言：(如右图所示)在△ABC和△DEF中（4）两边和其中一个角的对应相等的两个三角形全等。
简写成“”。
几何语言：(如右图所示)在△ABC和△DEF中（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)在Rt △ABC 和Rt △DEF 中5、尺规作图 只用 和 作图的方法称为尺规作图.6、角平分线的性质及判定(1).性质：角平分线上的点到这个角的两边的 . 几何语言：(2).判定：到一个角的两边距离相等的点 几何语言：(3).三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 证明文字命题的一般步骤：证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
二、针对训练1．△ABC ≌△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′，的周长为32cm ，A ′B ′＝9 cm ，B ′C ′＝12cm ，则AB ＝ cm ，BC ＝ cm ；AC ＝ cm ．2．如图13—1—9，△ABE ≌ACD ，∠AEB ＝∠ADC ＝90°，则其他对应角有 ，对应边有 ． 3．下列命题中正确的是 （ ）A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形周长、面积分别相等4．已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于 （ ）A ．9．5cmB ．9．5 cm 或9 cmC ．6cmD ．4cm 或9cm 5．下列命题中，真命题的个数是 （ ）①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等CF7．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E 8．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙9．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°， 若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件_______或 ；若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或 ．10. 已知：如图3，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2.求证： △ABD ≌△ACE11. 已知：如图4，点A 、C 、B 、D 在同一直线上，AC=BD,AM=CN ， BM=DN.求证： AM ∥CN ，BM ∥DN7．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .B8．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．9.已知：如图4－6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .10.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.11、如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。
（1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。
12.三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，∠BAC 的平分线AD交BC 于D ，且CD ∶DB ＝3∶5，则D 到AB 的距离等于 ． 第13题图 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝20 cm ，则△DBE 的周长等于 ． 15．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是 ．A D C BF E F E（图14）D CB A16．如图13—3—2所示，已知AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD ＝CD.求证：BE ＝CF ．17．如图，C 、D 是∠AOB 平分线上的点，CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ．求证：∠CDE=∠CDF ．三、灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 证明的书写步骤①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论注意：1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.2.证明线段(或角)相等转化成证明线段(或角)所在的两个三角形全等.4、常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 1.倍长中线（线段）造全等1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A2.截长补短 (1)、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC3.平移变换(1).如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.EDCB A4.借助角平分线造全等(1)、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD, CE 相交于点O ，求证：OE=ODCDB AFE D CB A5.旋转(1). 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.5、全等三角形证明中常见图形：FCECAB DCAAEDCB变形 AB CDE变形ABDFECCBAD变形DACEB变形6、全等三角形习题精选1．下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等2.下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等3.如图, 在∠AOB的两边上，AO=BO , 在AO和BO上截取CO=DO , 连结AD和BC 交于点P , 则△AOD≌△BOC理由是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS4.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边4.如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论. 如图ABD ∆和ACE ∆２．条件的发散能力培养如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CFE FCBAD1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝．2、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．3、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ， AD 平分∠CAB 交BC 于D ， DE ⊥AB 于E ， AB=10求△BDE 的周长4．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC ． ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明八年级（上）第十二章全等三角形11ADCEB2．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD3．已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE猜想AB与CD数量关系，并说明理由.4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。