d 2 y(a, b, c, t) dt 2
uz
dz(a, b, c, t) dt
d 2z(a, b, c, t)
az
dt 2
x
y
z
x(a,b,c, t) y(a,b,c, t) z(a,b,c, t)
ux
u
y
uz
dx(a,b,c, t) dt
dy(a, b, c, t) dt
不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随 时间的变化。
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
3 流体动力学理论基础
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
t0
c
z
O
y
a
b
x
x x(a,b,c, t)
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t )
z
M t0
c O
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这 个液体质点，就可得到另一个液体质点的运动规律。
z
M t0
1. 每个液体质点的运动规律都不
同，很难跟踪足够多质点。
2. 数学上存在难以克服的困难。 3. 实用上不需要知道每个质点运
动情况，只需要知道关键之处。
质点太多 → 作不到 ！ 数学上困难 → 作不到 ！ 实用上 → 不必要！
一般不用这个方法描述液体的 运动，但对于一些特殊问题，要用 这个方法，如波浪运动、PIV测速 等。
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
设某一液体质点 在 t = t0 占据起始坐标（a，b，c）
z
M t0
c O
a b
t
（x，y，z，t）
（a，b，c，t0）
z
y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
t0 ：质点占据起始坐标： （a，b，c） t ： 质点运动到空间坐标： （x，y，z）
z M
跟踪这个液体质点， t 得到其运动规律为
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 数学上存在难以克服的困难 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x x(a,b,c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
: 质点起始坐标
: 任意时刻
任意时刻
: 质点运动轨迹坐标 空间固定点（不动）
欧拉法
t = t0 ＝ 给定时刻，（x，y，z）＝ 变数
同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分 布，即流场。
欧拉法
（x，y，z）＝ 给定点，t ＝ 变数
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法 3.1.3 用欧拉法表达加速度
欧拉法： 流场法 核心是研究运动要素的空间分布场
z 空间固定点
O
x
设一些固定空间点，其坐标为（x, y, z)。
z 空间固定点
O
x
考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情 况，以此了解整个流动在空间的分布。
应用欧拉法研究液体运动的例子
地面卫星观测站 河流上的水文站
任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为
一维流动， 则
p p( x, y, z, t)
(x, y, z,t)
从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流 速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流 速也可不同。因此，加速度分为
通过（1）和（2）综合，可得液体运动的信息。
欧拉法把任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点在t 时刻，通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速为
u
x
dx( x, y, z, t) dt
u
y
dy( x, y, z, t) dt
dz( x, y, z, t)
u
y
d y(a, b, c, t) dt
d z(a, b, c, t)
uz
dt
x x(a, b, c, t )
ux
d x(a,b,c, t) dt
速ddt度z对y t y求z((a导a,,bb，,,cc,得,tt)到) 液体质点u的y 加 dd速zy(度(aa,d,bbt,,cc,,tt))
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不 同，而产生的加速度。
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同， 而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 当地加速度（时变加速度）说明
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
uz
dt
d dt
ux
u
y
d d
x(a,b,c, t) dt
y(a,b,c, t) dt
ax
ay
d2 d2
x(a,b,c, t) dt2
y(a,b,c, t) dt2
d z(a,b,c, t)
uz
dt
d2 z(a,b,c, t)
az
dt2
x x(a, b, c, t)
d dt
uy
ux y
uz
ux z
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
a x
dux (x, y, z,t) dt
a y
duy (x, y, z, t) dt
a
z
duz (x, y, z,t) dt
ux t
＝ u y t
uz t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
0
u2
利用复合函数求导法，将（x,y,z） 看成是时间 t 的函数，则
a x
dux (
x, y,z,t dt
)
a y
duy (
x, y,z,t dt
)
a
z
duz (
x, y,z,t dt
)
ux t
uy t
uz t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
y
z
y(a, b, c, t) z(a, b, c, t)
ux
dx(a, b, c, t) dt
uy
dy(a, b, c, t) dt
uz
dz(a, b, c, t) dt
d dt
ux uy
dx(a, b, c, t) dt
dy(a, b, c, t) dt
a x a y
d 2 x(a, b, c, t) dt 2
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标
z
M
t0
c
O b