第五章相交线和平行线第一节相交线一、课标导航二、核心纲要1. 对顶角与邻补角⑴对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.对顶角相等.注：相等的角不一定是对顶角.⑵邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.2.垂线⑴定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线.⑵垂线的性质性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.⑶点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同.⑷垂线的画法画法：1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.2）二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直线上. 3）三画：沿着这条直角边画线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ②过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上. 3.三线八角①∠4与∠8在截线l 的同侧，同在被截直线a ，b 的下方，则∠4与∠8是同位角.形似“F ”. ②∠5与∠3在截线l 的两旁，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠3是内错角.形似“Z ”. ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠4是同旁内角.形似“U ”.本节重点讲解：一个画法（垂线的画法），三个性质（对顶角、邻补角和垂线），七个概念（对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角和同旁内角）.三、全能突破基础演练1. (1) 在图5-1-2中所示的五个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D.3(2) 下列说法正确的是（ ）A. 有公共顶点的两个角是对顶角B. 两条直线相交所成的角是邻补角C. 两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角D. 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角1212122121图5-1-21 2 3 4 5 6 782. 如图5-1-3所示，EF ⊥CD ，∠AOE 的邻补角是（ ），∠AOE 的余角一定是（ ）A. ∠BOF ；∠AODB. ∠BOC 和∠AOD ；∠BOCC. ∠DOF ；∠BOFD. ∠BOE 和∠AOF ；∠BOC 和∠AOD3. (1) 下列说法正确的的是（ ）A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 联结两点间的线段叫做这两点之间的距离D. 过点A 作直线l 的垂线段，则这条垂线段叫做点A 到直线l 的距离(2) 在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出如图5-1-4所示五种图形，错误的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图5-1-5所示，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若α=44°，则β=（ ）A.56°B.46°C. 45°D.44°图5-1-5l 1l 2M Oβα 图5-1-4A CE BBA EC BA CEBEAC BAE C 图5-1-3A CD EF O5. 如图5-1-6所示，直线a ，b 被直线l 所截.则图中对顶角有 对，分别是______；邻补角有______对，分别是______；同位角有______对，分别是______；内错角有______对，分别 是______；同旁内角有______对，分别是______.6. 如图5-1-7所示，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，线段DE 的长度是点______到直线______ 的距离；点C 到直线AB 的距离是线段______的长度，点B 到直线CD 的距离是线段_______的 长度.7. 如图5-1-8所示，BC ⊥AC ，AD ⊥CD ，AB =6，CD =5，则AC 的长的取值范围是（ ）A. AC ＜6B. AC ＞5C. 5≤AC ≤6D. 5＜AC ＜68. 如图5-1-9所示，一只小羊从A 地到B 地去吃草，然后去河边喝水，请做出小羊经过的最短路 线.l 1 A·l 2· B图5-1-9BADC图5-1-8图5-1-7BDACE图5-1-66 7 8 5 3 1 429. 如图5-1-10所示，AO ⊥FD ，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB =40°， 求∠EOF 、∠COE 的度数.能力提升10. 点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为P A =3cm ，PB =4cm ，PC =5cm ， 则点P 到直线m 的距离为（ ）.A. 3cmB. 小于 3cmC. 不大于 3cmD. 以上结论都不对 11. 若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 的距离等于2 cm 的点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知，如图5-1-11所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且CD ⊥EF ，∠AOC =20°，若 OG 平分∠BOF ，则∠DOG = .13. 已知，如图5-1-12所示，∠ACB =90°，BC =5cm ，AC =12cm ，AB =13cm ，CD ⊥AB 于点D ，则CD = .B D 图5-1-12EFA B DOCG图5-1-11BA图5-1-1D CO F E14. 通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）:⑴ 若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑵ 若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑶ 若４条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． ⑷ 通过⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角．15. 已知，如图5-1-13所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ：∠DOE =10：1，⑴ 试判断OF 与OE 的位置关系，并说明理由. ⑵ 求∠AOF 的度数.16. 已知OC 把∠AOB 分成两部分，且有下列两个等式成立：①∠AOC =13直角+13∠BOC ；②∠BOC =13平角-13∠AOC ， 问：(1) OA 与OB 的位置关系如何？并说明理由.(2) OC 是否为∠AOB 的平分线？请写出判断的理由.17. (1) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出一条直线m ，使点A 到直线m 的距离是2cm.(2) 已知平面内任意一点A ，试在平面内做出四条直线m 1，m 2，m 3，m 4，使点A 到四条直线的距离是2cm.OA CBE DF 图5-1-1318. 已知，如图5-1-14所示，曲线上的任意一点到直线m 的距离和到定点A 的距离都相等，点B 为 曲线上方任意的一点，在曲线上找一点D ，使DB +DA 的和最小，作图并简要说明理由.19. 已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD =90°，OE 平分∠BOC .(1) 如图5-1-15（a ），若∠AOC =30°，求∠DOE 的度数；(2) 在图5-1-15（a ），若∠AOC =α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）； (3) 将图5-1-15（a ）中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图5-1-15（b ）的位置. ① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，直接写出结论；② 在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足：∠AOC —4∠AOF =2∠BOE +∠AOF ，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.图5-1-15C ABODE(a)(b)DECOAB··图5-1-14m20. 如图5-1-16所示，已知直线AB、CD交于点O，x=1，y=－1是方程ax+4y=3的解，也是方程bx－ay=1+2a的解，且∠AOC：∠AOD=b:a，EO⊥AB.(1) 求∠EOC的度数.(2) 若射线OM从OC出发，绕点O以1(°)/s的速度顺时针转动，射线ON从OD出发，绕点O 以2(°)/s的速度逆时针第一次转动到射线OE停止，当ON停止时，OM也随之停止，在转动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，OM⊥ON？(3) 在(2)的条件下，当ON运动到∠EOC内部时，下列结论：①2∠EOM－∠BON不变；②2∠EOM+∠BON不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.D E C O BA图5-1-16中考链接21.（2010·台州）如图5-1-17所示，△ABC 中∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP长 （ ）A. 2.5B. 3C. 4D. 522. （2011·梧州）如图5-1-18所示，直线EO ⊥CD ，垂足为O ，OA 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为 （ ）A. 120°B. 130°C. 135°D. 140°23. （2010·娄底）如图5-1-19所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，求∠AOE 的度数.巅峰突破24. O 为平面上一点，过点O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1，l 2，…，l 2005，则可形成______对以O 为顶点的对顶角.25. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有______对同旁内角.A E DOCB图5-1-19图5-1-18CBDAEOA图5-1-17CPB第二节平行线及其性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.平行线(1)定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b.(2)平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.注:点必须在直线外，而不是在直线上.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.2.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.注:判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点，两直线相交;②无公共点，两直线平行;3.两直线平行的判定方法(1)平行线的定义.(2)平行公理的推论.(3)同位角相等，两直线平行.(4)内错角相等，两直线平行.(5)同旁内角互补，两直线平行.4.平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补.本节重点讲解:一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质.三、全能突破基 础 演 练1. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ）A. 平行或相交B. 垂直或相交C. 垂直或平行D. 平行、垂直或相交 2. 下列说法正确的是( )A. 经过一点有一条直线与已知直线平行B. 经过一点有无数条直线与已知直线平行C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 如图5-2-1所示，下列推理中错误的是( )A ．∵∠A +∠ADC =180°, ∴AB ∥CD B ．∵∠DCE =∠ABC , ∴AB ∥CD C ．∵∠3=∠4, ∴AD ∥B CD ．∵∠1=∠2, ∴AD ∥B C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是( )A. 第一次右拐50，第二次左拐130 B. 第一次左拐50，第二次右拐50 C. 第一次左拐50，第二次左拐130 D. 第一次右拐50，第二次右拐505. (1) 如图5-2-2所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ,C 分别落在C D '',的位置.若∠EFB =65,则∠ADE '等于 .(2) 如图5-2-3所示，AD //EF , EF //BC ，且EG //AC .那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是 .(3) 如图5-2-4所示，AB //CD ，直线AB , CD 与直线l 相交于点E ,F ,EG 平分∠AEF , FH平分∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为 .6. 解答题.(1) 填写推理理由如图5-2-5所示，D ,F ,E 分别是BC , AC , AB 上的点，DF //AB , DE //AC ，试说明: ∠EDF =∠A .解: ∵DF //AB ( )，∴∠A + =180( ) ∵DE //AC (已知)∴∠AFD + = 180( ) ∴∠EDF =∠A ( )70.将求∠AGD的度数过程(2) 推理填空,如图5-2-6所示，EF// AD, ∠1=∠2, ∠BAC=填写完整:解: ∵EF//AD( )，∴∠2= ( )又∵∠1=∠2( )，∴∠1=∠3( )∴AB// ( )180( )∴∠BAC+ =70( )，又∵∠BAC=∴∠AGD= .7. 已知:如图5-2-7所示，AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G, ∠E=∠3.求证:AD平分∠BAC.能力提升8. 若α和β是同位角，且α=30，则β的度数是( ) A.30 B.150 C.30或150D.不能确定9. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角分别是( )A.30和150 B. 42和138C.都等于10D.42和138或都等于1010. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图5-2-8(a)-(d)所示.从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( ) ①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，内错角相等; ③同位角相等，两直线平行;④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④11. 如图5-2-9所示，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF , ∠B =∠ C , ∠EF A 比∠FDC 的余角小10,P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠ FQP =∠QFP , FM 为∠EFP 的平分线.则下列结论:① AB //CD , ②FQ 平分∠AFP , ③∠B +∠E =140,④∠QFM 的角度为定值.其中正确的结论有( )个 A. 1 B.2 C. 3 D. 412. 如图5-2-10所示，AB // EF , EF // CD , EG 平分∠BEF , ∠B +∠BED +∠D =192 ,∠B -∠D =24 ，则∠GEF = .13. 在同一平面内有2002条直线,,21a a ... ,2002a ，如果1a ⊥2a ,2a //3a ,3a ⊥4a ,4a //5a ,... ,那么1a 与2002a 的位置关系是 .14. 如图5-2-11所示，AB //CD , ∠1=∠2, ∠3=∠4，试说明:AD //BE .15. 已知，如图5-2-12所示，∠ABC =∠ADC , BF , DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，且∠1=∠3. 求证:AB //DC .16. 如图5-2-13所示，已知∠DBF =∠CAF ,CE ⊥FE .垂足为E , ∠BDA +∠ECA =180，求证：DA ⊥FE .17. 已知，如图5-2-14所示，∠1+∠2=180 ,∠1十∠EFD=180 ,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论.18. 已知，如图5-2-15所示，AC//DE, DC//EF, CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.19. 阅读材料:材料1:如图5-2-16(a)所示，科学实验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.即∠1=∠2.材料2:如图5-2-16(b)所示，已知△ABC，过点A作AD//BC,则∠DAC=∠C.又∵AD//BC, ∴∠DAC+∠BAC+∠B=180 ,∴∠BAC十∠B+∠C=180 .即三角形内角和为180 .根据上述结论，解决下列问题:(1)如图5-2-16(c)所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50 ，则∠2= ，∠3= ;(2)在(1)中，若∠1=40 ，则∠3= ，若∠1=55 ，则∠3= ；(3)由(1)(2)请你猜想:当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由.20. 已知直线MN//BC，点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD,AC平分∠NAD,(1) 如图5-2-17(a)所示,若DE⊥AC于E，求证: ∠1=∠2.(2) 若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ= x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD+∠FDB，点D 在线段BC上(不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，F H//MN(如图5-2-17(b)所示)？试写出α、β、x之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH//MN.21.如图5-2-18所示，已知射线CB//OA, AB//OC, ∠C=∠OAB=100 ，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB, OE平分∠COF.(1)求∠EOB的度数.(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律;若不变，求出这个比值.(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在，说明理由.中考链接22. (2011·绍兴)如图5-2-19所示，已知AB//CD,BC平分∠ABE,∠C=34 ,则∠BED的度数是( )A. 17B.34C. 56D. 6823. (2011·浙江丽水)如图5-2-20所示，有一块含有45 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1 = 20 .那么∠2的度数是( )A. 30B.25C. 20D. 15巅峰突破24.如图5-2-21所示，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180 ;④∠4=∠7.其中能说明a//b的条件序号为( )A.①②B.①③C.③④D. ①②④25.如图5-2-22所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E, DF⊥AB于点F,AC//ED,CE是△ACB的角平分线.求证: ∠EDF=∠BDF.26.平面上有5条直线，其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36 ,请说明理由.第三节平行线的综合及平移初步一、课标导航二、核心纲要1．平移变换(简称：平移)（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.（2）三角形内角和定理的应用①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等.②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变.2．两条平行线间的距离在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.3．命题命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据，这样的真命题叫做定理.命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形 式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.4．基本几何模型转折角处巧添平行线(拐点+平行线).利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题).5．思想方法：转化思想本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。