b
33
4488倍
x

13.6

1360%
x
1

(x1, x2, x3, x4 )T (81,137,34,22)T
15111倍
A 0.3 0.9%
A
33

x

136

13600%
x
1

2.3 矩阵的条件数与病态方程组
一、矩阵的条件数 ★矩阵条件数的定义 ★矩阵条件数的性质
1010

例（P49）
cond(A) 1011
1010 0.1
n1


1 n
1 n 1
1 n2

1 2n 1
对称正定矩阵
在MATLAB中，函数hilb（）提供了Hilbert矩阵
H4 hilb(4)
希尔伯特（Hilbert）阵 -----最著名的病态矩阵
Hilbert矩阵的条件数：
cond (H4 ) 1.55104, cond (H6 ) 1.49107 cond (H8 ) 1.531010 cond (H5 ) 4.761105, cond (H10) 1.60251013 cond (H15) 8.4881017cond (H20) 1.90841018
得：ans=1.000, 1,000, 1.000, 1.000, 0.999 1.000，0.999， 1.000， 0.999，1.000
输入： n 20; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000, 1,000, 1.001, 0.979 1.202 -0.141, 4.886, - 6.842, 9.446, -2.9071 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545, 65.566, -47.751, 27.814, -9.191, 2.883
求解病态方程组出现的问题：
例：用MATLAB求解线性方程组
Hnx b
b Hne, e (1,1,,1)T
输入： n 5; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 输入： n 10; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000
输入： n 5; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 输入： n 10; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,

3 2.9999
11
x1 x2


4.04002
准确解：
x1 , x2 T
2
, 10T
方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的 交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相 差很远。
例2 方程组 10 7 8 7 x1 32
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别 2、病态线性方程组的求解
（1）采用高精度 （2）（预处理）平衡法 （3）残差校正法 （4）奇异值分解法
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别
例（P49）
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别
0.1 0.1
A 0.1
10 7 8 7 x1 32.1
7

8 7
5 6 5
6 10 9
5 9 10



x2 x3 x4



22.9 3303..91
10 7 8.1 7.2 x1 32
b
x
(3) 0.005%, 50%
b
x


希尔伯特（Hilbert）阵 -----最著名的病态矩阵
定义： H (hi, j )nn ,
hi, j

i

1 ,i, j 1
j
1,2,, n

1
Hn


1
2
1
2 1
3

1
3 1

1
n 1

4
一、矩阵的条件数
Proof
x
A A1
A b
改写（2.22）式：
x

(

)
1 A A1 A
A
b
A
★矩阵条件数的定义： ★矩阵条件数的性质：
（6）Cond(AB) ≤ Cond(A) Cond(B)
二、线性方程组的性态
答案： (1)cond(A) 4104, x (2,0)T (2)x x (1,1)T
7

8 7
5 6 5
6 10 9
5 9 10



x2 x3 x4



23 3331
（准1确A）解对0为0.00右0.081：端00b0.0(0..004x作211,微x00200.小.11,1x扰3,00x动00..2042)：T （2(）1,1对,1,系1)数T 矩阵A作微小扰动：
.98 4.99
6 9.89
9
5 9 9.98



x2 x3 x4



23 3331
(x1, x2, x3, x4 )T (9.2,12.6,4.5,1.1)T
b 0.1 0.303%
2.3 矩阵的条件数与病态方程组
一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态 三、病态线性方程组的求解
2.3 矩阵的条件数与病态方程组
例1 方程组
3.03001
11


x1 x2



4.04001
准确解： x1 , x2 T 1 , 1T
若A及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：