（5）求解病态线性方程组的混合算法：首先通过变分原理将求解线性方程组的问题转化为等价的求解无约束函数最优化问题的极小值。通过研究BFGS算法和模拟退火算法的优缺点, 鉴于BFGS的良好的局部搜索能力以及模拟退火法的全局搜索能力, 提出了一个BFGS- SA的混合算法。数值实验表明该混合算法校正了BFGS的局部搜索能力, 达到了全局最优解, 从而得到了原病态线性方程组的解。
[4] 郑洲顺, 黄光辉。求解病态线性方程组的共轭向量基算法好.pdf。山东大学学报(理学版)，第43卷第10期。
[5]郑洲顺, 黄光辉, 杨晓辉。求解病态线性方程组的混合算法.pdf。贵州工业大学学报( 自然科学版)，第37卷第3期。
二、主要研究内容
整理和总结各种求解病态线性方程组算法，熟悉和了解各种方法的求解过程，并总结其优缺点，在此基础上，创新方法，寻求一种新的方法，将现有的方法适当的组合起来，取长补短而形成新的算法，并且有好的数值结果。
三、研究设计方法及技术路线
1、首先进行资料的搜集，并仔细阅读文献，熟悉文献内容。
2、重点研究最新的迭代算法，并与传统方法进行简单对比，分析各自的优缺点。
3、创新已有的方法，综合各种方法的优缺点，尽可能找到新的、能够很快得到有效解的方法。
4、最后结合实例，对相关方法的收敛速度和精确度进行测试和对比。
四、时间安排
本课题拟研究病态线性方程组的解法，首先对已有的算法进行总结、比较，由于算法一般都具有某些优点以及缺点，在结合自己的学习成果，总结创新得出自己的求解方法。
2、国内外研究状况
用直接法求解线性方程组,对于系数矩阵对角占优是很有效的。方程阶数不高时，人们经常使用；而当方程组阶数大时,由于积累误差,导致结果失真。为了克服误差积累问题,通常用迭代法。它具有可达到所要求的精度和对计算内存要求不大优点,对求解大型线性方程组,迭代法计算时间远比直接法少，所以在实际计算中，迭代法也被人们广泛使用。本次论文主要整理和研究利用迭代法求解病态线性方程组。
课
导师姓名
学生姓名
学 号
专业班级
信计08(1)
一、选题依据
1、课题的目的和意义
病态方程组的条件数较大, 当输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起输出数据的很大扰动, 使得解严重失真, 因此求解此类方程组是相当困难的.
在许多工程实际应用中，超大规模的线性方程组的数值解法是时常要遇到的问题。由于线性方程组的维数巨大，给具体的计算带来很大的问题——算法对计算机的内存需求大，算法的收敛速度慢以及计算舍人误差的累积扩张。这些往往使理论上较好的算法无法真正的应用到工程实际中，因此寻求一种真正能实际应用的数值算法一直是人们关注的问题。通常求解线性方程组一般可以分为直接解法和迭代解法。现在流行的算法一般采用迭代的算法来求解线性方程组，这主要是为了加快求解的速度。另外由于计算机的发展，在许多领域里涌现了一些新型的算法如神经网络 ，遗传算法，粒子群算法，模拟退火算法以及蚁群算法等。
（1）遗传算法( GeneticAlgorithm) 是美国密执根大学Holland教授倡导发展起来的, 是一种基于生物进化的机制和原理并引用随机理论的全局优化搜索方法. 近年来遗传算法( GA) 以其高效、实用等特点在各领域中得到了广泛的应用, 并越来越受到重视。此文中，使用遗传算法来求解病态线性方程组, 得到了较好的结果, 并与传统的求解方法作了简单的比较。
（2）针对地球物理反问题中经常碰到的病态线性方程组的求解问题。发现一种简单迭代(SI)算法,从理论上证明了解序列收敛且收敛到方程组的真解,然后给出了几个算例,将计算结果与对付病态问题能力很强的CG类算法的结果进行了对比,结果表明: SI 算法具有极强的抗病态能力,计算精度明显高于CG类算法, 但计算速度稍低于后者。
第6周：作课题准备。
第7周～第14周：实施课题研究，完成论文初稿。
第15、16周：完成论文定稿。打印装订成册。
五、预期成果
汇总已有的一些求解病态线性方程组的解法，深入研究各种方法，比较各法的优缺点，并进行总结，在此基础上，进行创新，最后找到自己的求解病态线性方程组的方法。
2012年 4月9 日
指导教师意见：
3、主要参考资料
[1]黄松奇，黄守佳。用遗传算法求解病态线性方程组.pdf。数学的实践与认识，第33卷，第8期；
[2] 毛先进，杨玲英。病态线性方程组的简单迭代解法.pdf。物探化探计算技术，第21卷，第1期；
[3] 胡圣荣, 戴纳新。病态线性方程组新解法_增广方程法.pdf。华南农业大学学报，第30卷第1期；
（3）增广方程法：将病态方程组放到一个增广的系统中考虑, 这时原方程组的解只是增广解的一个局部, 并处在增广解的前部, 再适当构造增广方程组, 就不难获得比较准确的解.
（4）算法适合求解大型病态线性方程组的解法：结合最速下降法计算量小和共轭方向法收敛速度快的特点, 提出了一种求解病态方程组的共轭向量基的方法。线性方程组的精确解能够由共轭向量基线性表示,利用迭代的方式给出了构造共轭向量基以及对应系数的方法, 证明了算法所构造的向量基的共轭性。同时给出了一个改进算法以适合不同精度要求, 加快迭代的收敛速度。通过对5000阶的Hilbert 方程组进行求解, 结果的相对误差小于045%, 并与当前普遍使用有效的方法进行了比较, 数值实验结果表明,该算法适合求解大型病态线性方程组,且具有快速收敛, 精度较高的特性。
指导教师： 年 月 日