对各直接测量量偏导：
1 2 1 ; ; M D H

而
4M
D H
2
M 2 D 2 H 2 Er ( ) (2 ) ( ) M D H
Er
17
从而，求得

§2 有效数字及运算法则
一、有效数字
1．定义：若干位可靠数字加一位可疑数字构成。
xi xi x
4
（3）标准偏差Sx
定义： S x
2 ( x x ) i
n 1
Bessel公式
(3)
为n次测量的标准偏差。
5
二、测量结果的表示 1.用总不确定度表示
x x x
x x与x x之间出现真切值可能性 较大
2.用相对不确定度表示 x Er 100% x 3.用百分偏差表示
需要注意的是：一些常用的长度测量仪器的仪器 不确定度由其测量范围决定，并不是其最小分度 值的1/2。（P30）
11
例：用千分尺分别测量铜棒的直径得到下列
数据：
直径 D (mm)
D
Di
0.005
A Sx
1 2 2 B 仪 3
D
7.859 7.854 7.846 7.854 7.857
13
N的总不确定度△N :
f 2 2 f 2 2 f 2 2 N ( ) x ( ) y ( ) z x y z
N的相对不确定度:
N Er N ln f 2 2 ln f 2 2 ln f 2 2 ( ) x ( ) y ( ) z x y z
例：6.35mA 3位； 102.50Kg 5位；
l=10.34cm 4位。
注意：①数字前面“0”不是有效数字
0.0436 m 0.0000436 km 4.36 cm
有效数字的多少，往 往反映出测量时所用 的仪器
②当“0”不用作表示小数点位置时,即“0”在数 字中间或末尾时是有效数字. (1.35cm≠1.3500cm)

2
P
p ( x) dx 0.68

P
p( x)dx 0.95
2
3.随机误差的估计： (1) 算术平均值 对于有限次的n个等精度测量值
x1 , x2 , x3 , xn
（2）每次测量的算术平均偏 差 (残差）
1 n x xi n i 1
即： 取A＝S x
(7)
若n不在此范围或要求更高，用 公式（6）
2. 总不确定度的B类分量△ B: 器误差带来的不确定度。
——指测量仪
8
（1） 对于单次测量：其B类不确定度△B＝△仪； (单次测量的ΔA=0)
（2）对于多次测量：为了简化教学，规定B类不确 定度： 1 B 仪 (8) 3
当△仪未知时，取仪器的最小分度值的一半为△仪。
3. 总不确定度的合成 遵循 “方一和一根” 的基本方法，


2 A
2 B
9
小结：
△A
直 接 测 量 单次测量
△B
△仪

2 A
2 B
0
△＝△仪
多次测量
Sx
1 仪 3
S /3
2 X 2 仪
10
例：用米尺测得金属棒的长度为35.68cm,则应将
结果表示为L=(35.68±0.05)cm.
0.000 0.005
0.008 0.003 0.000
0.000006
0.006
7.854
结果
D (7.854 0.006)mm
12
四、 间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量的函数关系式为： N＝f (x，y，z……)， 其中x，y，z为相互独立的直接测量量，N为 间接测量量 。
设x, y, z，的不确定度分别为△x、△y、△z， 它们必然影响间接测量结果，使N也有相应的 不确定度△N
18
二
有效数字运算法则
1.可靠与可靠→可靠
可靠 可疑 2.可疑与 可疑
但进位是可靠的。
3.尾数的取舍原则： 4舍6入5凑偶。5凑偶后使末位 为偶数。否则将 5 舍去。（不确定度的相关规定另 外说明） ①加减法 结果的有效字位数与诸数中绝对误差最大者的有效数 字的末位对齐。
大学物理实验
绪论
1
第一章 测量的不确定度和数据处理方法 §1 测量的不确定度
一 、测量与误差
1.直接测量与间接测量 2.测量误差 及误差的种类
仪器误差 （1）系统误差 理论误差 方法误差 条件误差 （有一定的规律） 习惯误差 可通过一定的方法来减少或“消除”
2
（2）
随 机 误 差
条件微小差异 感官限制单峰性 对称性 性 质 有界性 n 1 抵偿性lim N i 0 n n i 1
测量值的置信概率：
P
x2
x1
p( x)dx
3
其中：p（x）为概率密度。
取μ为n→∞时测量的平均值，σ为正态分布的 标准偏差，则有：
常用的不确定度传递公式见P9
14
1、函数关系为加减的，先求总不确定度
直接将函数对各自变量求偏导，再代入公式（13）
例：N x y 3
2
则 N xy
2 2 2
3
N x (3 y ) y
3
结果： N ( x y ) N
15
2、函数关系为乘除的，先求相对不确定度
B
x x公 x公
100 %
6
三 直接测量总不确定度的估算和结果的表示
1. 总不确定度的A类分量△ A: ——指多次重 复测量用统计方法计算出的不确定度。
（1）单次测量
△ A=0
7
（2）多次测量 N趋于无穷时， 服从正态分布, 而进行有限次测量，一般服从t分布(学生分布)。 大学物理实验中n的次数一般不大于10次 , 在5＜n≤10时，作△A＝Sx近似，置信概率p为0.95 或更大。所以作为简化计算，可直接把Sx的值当 作测量结果的总不确定度的A类分量△A。
（1）将函数两边取对数，再对各自变量求偏导， 再代入公式（14）
( 2)
N 求出 N并由 Er N
求得 N Er N
16
4M 例： D 2 H
已知： M M M , D D D H H H 4 Ln Ln LnM 2 LnD LnH