矢量图
交流电本身并不是矢量，而是代数量，它和力、电场强度 等空间矢量有着本质的区别。不过因为它是时间的函数， 才能按一定的法则用时间矢量来表示。 5.4.3 同频率正弦交流电相加的矢量运算 同频率的正弦交流量相加，其和仍为同频率正弦交流量。 例如，两个正弦交流电分别为 i1 = I1m sin( ωt + φ01) i2 = I2m )，i sin ( ωt + φ02 ) 其两电流之和为 i = i1 + i2 = I1m sin ( ωt + φ01 ) + I2m sin ( ωt + φ02 = Im sin ( ωt +φ) 可见，只要求出合成电流i的最大值Im和初相角φ，则电流i 即可确定，下面用矢量法求解。
右图中转子具有一对N 、S 磁极，磁极的表面制造的比 较特殊，使磁感应强度相对 绕组按正弦规律分布；A、 B 是绕组的两个有效边，固 定在定子上，两个端点接负 载，图中虚线表示绕组的背 面连在一起。
下面分析转子按逆时针方向匀速转动，绕组切割磁力线产 生感应电动势的情况： 当α =0，转子的中性面扫过绕组的A、B 边，由于此时绕组 的A、B边不切割磁力线，绕组中没有感应电动势。 当α =90o ，扫过绕组的A、B边磁感应强度最大，绕组中的 α A B 感应电动势也最大，电流方向为A流出，B 流进。 A B 当α ＞180o，对于绕组而言，磁极已经反向，绕组中的感 应电动势亦反向，即A 为流进，B 为流出。 当α =270o，绕组中的感应电动势达到负的最大值。 当α =360o ，转子转过了一个周期，转子的中性面又经过 绕组，其感应电动势为零。
项目四 正弦交流 电路
任务二 正弦交流电路
5-1 正弦交流电及正弦交流电的产生
5.1.1 正弦交流电 1.交流电 大小和方向都随时间作周期性变化、并且在一个周期内 其平均值为零（在一个周期内正负半周的面积相等）的电 压或电流，统称为交流电。图5-2是几种交流的波形。
图5-2 几种交流电波形
2.正弦交流电 正弦交流电 按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦交流电（图62b）。正弦交流电有时也简称交流电。正弦交流电有着广 泛地应用。我国的工业电力网采用的就是50Hz正弦交流电 （又简称工频交流电），因为它有以下优点： （1）可以利用变压器升压或降压，便于电能的远距离输 送； （2）交流电动机结构简单、成本低、电磁噪声小、使用 维护方便； （3）可以通过整流将交流电变为直流电，供直流设备应 用。 由于正弦交流电随着时间作周期性变化，因此交流电路 和直流电路有着很大的区别。在直流电路中各种负载都可 以用一个电阻来等效，然后利用电阻电路的计算方法来计 算电路中的各个电量。在交流电路中，由于电流在交替变 化，除了电阻元件可以通过交流电流之外，电容器也可以 通过交流电。
最后根据实际求出的Im和φ值，写出合成电流的瞬式表达 式。
用矢量法求合矢量
例：
纯电阻电路
应用案例——电炉电路 电炉电路 应用案例
当开关置于低档时，500W电热丝接入电路； 当开关置于低档时，500W电热丝接入电路； 电热丝接入电路 当开关置于中档时，1000W电热丝接入电路； 当开关置于中档时，1000W电热丝接入电路； 电热丝接入电路 当开关置于高档时，500W和1000W电热丝同时并联接 当开关置于高档时，500W和1000W电热丝同时并联接 入电路，此时功率最大。 入电路，此时功率最大。
=
( I 1 m cos ϕ 01 + I 2 m cos ϕ 02 ) 2 + ( I 1 m sin ϕ 01 + I m sin ϕ 01 + I 2 m sin ϕ 02 OY ϕ = arctan = arctan OX I 1 m cos ϕ 01 + I 2 m cos ϕ 02
1．作图法 ． 作图法就是根据矢量的平行四边形法则，用作图的方法 求合矢量。其方法是：将被加电流的最大值（或有效值） 按一定的比例长度及被加电流的初相角在直角座标系中画 出被加电流矢量，根据矢量的平行四边形法则作图，将作 出的合矢量用尺子测量其长度和与x 轴的夹角，测量出的 合矢量长度（乘比例系数）就是合电流的最大（有效）值； 与x 轴的夹角就是合电流的初相角。
u = U m sin ωt
4．初相角φ0 ．初相角 在下图中，当计时起点t = 0时，正弦交流电已具有电角 度φ0 ，φ0我们就称为正弦交流电的初相角。显然，初相角 的选择与计时起点有关，如果选择正弦交流电从通过零值 向正的方向增加的瞬间作为计算时间的起点，则φ0 = 0。
初相角为φ0的正弦电流
电容器在交流电路中由于不断地充电和放电，相当于电流 在电容器中流动；电感线圈在直流电路中相当于短路，但 在交流电路中，由于电流的变化使电感线圈产生自感电动 势，这个自感电动势阻碍电流的流动，因此，电感线圈在 交流电路中的作用与在直流电路中的作用有着本质的区别。 在交流电路中工作的各种电器以及电路器件（电路负载）， 根据其工作性质不同，可以用电阻、电容、电感来等效。 电阻、电容、电感又称为交流电路的三大元件。 5.1.2 正弦交流电的产生 右图所示是发电机的正面示意图。
正弦函数总是与一定的角度相对应，正弦交流电也是如此， 当其变化一个周期时，电角度也变化了2π弧度（弧度是角 度单位，2π弧度=360o）。因此，正弦交流电变化的快慢 除了用频率表示外，还可以用角频率ω来表示，角频率是 交流电每秒所变化的电角度。角频率ω的单位是rad/s（弧 度/秒）或s-1（1/ 秒）。角频率和周期、频率的关系为 2π =2πf ω= 交流电的表达式可为 T
I=
m
2
也就是说，一个最大值Im为1.414A的正弦交流电流，与一个 1A的直流电流相等效。如果一个交流电流的有效值是1A， 那么它的最大值是1.414A。
例1．正弦交流电压 u = 311sin(314t + 30o ) V，求电压的有效 值U、频率f 和最大值Um。 U m 311 解： U = = V ≈ 220
2．计算法 ． 计算法的原理和作图法相同，它是根据合矢量在y轴的投 影等于和在y 轴的投影之和、在x轴的投影等于和在x轴的 投影之和的特点，用几何的方法进行计算的。参照图所示， 可以写出合成电流的最大值 Im和初相角φ的计算公式，即
Im = OX
2
+ OY
2
=
( OX
1
+ OX
2
) 2 + ( 0Y1 + 0Y 2 ) 2
根据转子磁极表面的磁感应强度相对绕组按正弦规律变化， 即B=Bmsinα 又根据电磁感应公式 ：E＝B l υ， e=υlBmsinα= Em sinα 式中υ ——转子的旋转速度； L ——绕组的A B 有效边长度之和； Em——感应电动势的最大值。 输出电压的表达式为u=Umsinα 当发电机的转子在匀速旋转时，绕组中就输出正弦交流电。 由上式可见，发电机的输出电压是转子旋转角度的函数。
f =
ω 314 = 2π 2π
2
2
Um＝311V 2．已知交流电压为220V，在电路中接有一只40W的白炽 灯，请计算白炽灯的电阻和通过白炽灯的电流。 P 40 解： I = = A = 0 .1 8 2
220 U U 220 R = = Ω = 1209Ω I 0 .1 8 2
2．正弦交流电的平均值 ． 正弦交流电是对称于横轴的，在一个周期内其平均值为 零。因此，一般所说的平均值是指半个周期内的平均值。 根据计算分析，正弦交流电在半个周期内的平均值为： Eav＝0.637Em ，Uav＝0.637Um ，Iav＝0.637Im 正弦交流电的平均值是在交流电的半个周期内取的平均值， 和有效值的定义有本质的区别，在数值上也不相等。平均 值只能作为电路分析时的辅助量，不能用于功率等的计算。
5.2.2 正弦交流电的有效值和平均值 1．正弦交流电的有效值 ． 将一个直流电流和一个交流电流分别通过阻值相等的两个 电阻，如果在同一时间内 （例如一个周期T），两个电流 做的功相等，这个直流电流和这个交流电流就是等效的， 就称这个直流电流是这个交流电流的有效值（等效值）。 通过计算，正弦交流电流的有效值I等于正弦交流电流的最 大值除以 2 ,即 I
5-3 相位与相位差
5.3.1 相位 电流的初相角为φ0，当这个正弦电流随时间变化时，它 的角度变化为ωt+φ0，ωt+φ0就称为这个交流电流的相位。
从物理意义上讲，相位是反映正弦交流电变化进程的。有 了相位这个物理量以后，就可以比较两个同频率正弦量谁 先到达最大值或谁先到达零。 5.3.2 相位差 相位差是指两个同频率的正弦量的相位之差，用φ表示 ： φ=（ωt+φ01）－（ωt+φ02）= φ01－φ02 从式中可见，两个同频率正弦交流电的相位之差等于它们 的初相之差。图6-10为几个同频率的正弦交流电的波形。 6-10 图6-10 a为具有正初相角的两个电流波形，它们的相位差 为φ = φ01－φ02 ，称为ί1超前ί2 φ角，或ί2落后ί1 φ角；图610 b中 ί1波形为正初相角，ί2波形为负初相角，它们的相 位差为φ = φ01 ─（− φ02 ）= φ01 + φ02 ，称为ί1超前ί2 φ角。 图6-10 c为两电流同相；图6-10d为两电流反相；图6-10eί1 超前ί2 ，又称为两者正交。
旋转矢量表示正弦量
5.4.2 正弦交流电静止矢量表示法 当有两个（或多个）同频率的正弦交流电用旋转矢量表 示时，由于它们的角频率ω相同，它们的相位差不变（也 就是在任意时刻两旋转矢量的相对位置是不变的，类似于 自行车车轮上的辐条，无论走多远，两辐条之间的相对位 置不变），因此，研究这两个同频率的旋转矢量时，就可 以不考虑旋转角频率ω，而只研究它们在初相时的关系， 这样旋转矢量就可以转化为静止矢量来研究。当根据矢量 的计算法则求出合矢量后，再将其合矢量赋以角频率ω。 静止矢量的长度表示正弦交流电的最大值Im （也可表示有 I 效值），方向角表示正弦交流电的初相角。 将几个同频率的正弦交流电用静止矢量表示时称为矢量图， 下图是两个同频率的正弦交流电流的矢量图。