第二章 连续时间系统的时域分析§2-1 引 言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。

一、建立数学模型主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。

线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------二、求解（时域解）1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）；2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。

经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。

2、卷积法（或近代时域法，算子法）这种方法将响应分为两个部分，分别求解：1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应r)(t；zi2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应r)(t。

zs●系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；●系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。

借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。

●卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确定初始状态。

● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。

本课程中重点介绍近代时域法。

§2-2 系统微分方程的算子表示一、算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。

微分算子：令dtd p =，n n n dt d p =， 积分算子：⎰∞-=t d p τ)()(1● 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：L L L i p L dtdi L u ⋅⋅==C t C C i pC d i C u ⋅⋅==⎰∞-11τ 即可以将电感和电容记成阻值为p L ⋅和p C ⋅1的电阻，即感抗和容抗。

利用算子可以将线性时不变系统的微分方程： )()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------表示为：)()(...)()()()(...)()(01110111t e b t pe b t e p b t e p b t r a t pr a t r p a t r p m m m m n n n ++++=++++---- 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简化为：)()...()()...(01110111t e b p b p b p b t r a p a p a p m m m m n n n ++++=++++----或进一步简化为： )()...()...()(01110111t e a p a p a p b p b p b p b t r n n n m m m m ++++++++=---- 定义：)()()...()...()(01110111p D p N a p a p a p b p b p b p b p H n n n m m m m =++++++++=----则：)()()(t e p H t r =注意上面只是微分方程的一种简单记法，并不代表能进行这样的计算。

二、算子运算法则1、p n m np mp )(+=+，其中m,n 为任意常数。

2、n m n m p p p +=,其中m,n 同为任意正整数（或负整数）。

3、x x p p =1，但是：1）px p 1不一定等于x —— 微分和积分的次序不能交换：x d x dtd x p p t ==⎰∞-τ1， 但是：()()∞--=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞-⎰x t x d dt dx px p t t ττ1 即，px px p p 11≠ 2）如果)()(t py t px =,不一定能够推出)()(t y t x =，只能得到C t y t x +=)()(，即等式两边的公共因子不能抵消。

可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。

§2-3 系统的零输入响应零输入响应是下列齐次方程的解：0)()...()()(0111=++++=--t r a p a p a p t r p D n n n 对它有两种解法：1）经典解法2）等效源法（或初始条件法）一、经典解法用经典法求解零输入响应由如下两步构成：1、确定系统的自然频率：令D(p)=0，将p 看成一个代数量，解得其n 个特征根n λλλ,...,,21。

2、确定零输入响应的形式解：1）如果D(p)=0俱为单根时，则可以确定其形式解为：∑==+++=n i t i t n t t zi i n e C e C e C e C t r 121...)(21λλλλ 其中n C C C ,...,,21为待定常数。

2）如果D(p)=0有重根时，假设1λ是一个k 重根， 即k λλλ===...21，则形式解为：∑∑+==-+-+=+++++++=+n k i t i k i t i i tn t k tk k t t t zi i n k e C e t C e C e C e t C e t C te C e C t r 111112*********......)(λλλλλλλλ3、根据初始条件，确定待定系数：一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数)0(),...,0(''),0('),0()1(-n r r r r ，代入形式解中就可以确定待定系数。

当D(p)=0俱为单根时：n n n n n n nn nn nC C C r C C C r C C C r C C C r )1(2)1(21)1(1)1(2222121221121...)0(...............)0(''...)0('...)0(----+++=+++=+++=+++=λλλλλλλλλ由上面的n 个方程就可以确定n 个待定系数。

或者记为矩阵形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n n n n n n n n C C C C rr r r M ΛM O M M MΛΛΛM 32111112232221321)1(21111)0()0('')0(')0(λλλλλλλλλλλλ 其它形式的初始条件，以及特征方程中有重根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过程解出。

举例：例1． 已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件是：()()()23,01,0232p H p r r p p +'===++， 求系统的零输入响应并指出其自然频率。

解:2320p p ++=，()()120p p ++=，11p =-，22p =-。

所以, 零输入响应的形式为:()212t t r t c e c e --=+求1c 、2c ：()()''2212122t t t t r t c e c e c e c e ----=+=--，()()12'1201022r c c r c c ⎧=+=⎨=--=⎩ 解得：124,3c c ==-,得，()243t t r t e e --=-，自然频率分别为：121,2λλ=-=-。

二、等效源法这种方法将初始条件看成是一个在t=0的瞬间加上的激励源（阶跃或冲激），然后将系统的初始条件归为零，从而将求解零输入响应的问题转化为求解零状态响应的问题。

这在后面求解零状态响应中一并处理。

等效源法将在时域解法中用得不是很多，本课程将在Ch5中介绍其原理。

小结：系统零输入响应的时域求解方法就是经典的齐次微分方程的解法。

习题：①. 2.3(1)-图P2-3(a); ②.2.4(3)。

******************************************以下内容涉及到系统零状态响应的求解过程，为了叙述的清楚起见，我们这里先简单了解其求解的基本思路。

系统零状态响应的求解过程求解零状态响应的基本思想：1）将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和（或积分）；2）求线性系统对各个子信号的响应；3）将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。

这其中利用到了线性系统的齐次性和叠加性。

为了求解线性系统的零状态响应，必须解决以下几个问题：1）选取什么样的子信号？2）如何将信号分解为子信号的和或积分？3）如何求系统对子信号的响应？4）如何求得最后的响应？在下面的各节中，我们将就上面的问题一一进行讨论。

其中，§2-4介绍了时域分解法中使用的子信号；§2-5介绍如何将任意信号分解为子信号之和；§2-6介绍如何求子信号的响应；§2-7～§2-9介绍如何通过叠加，从而求出系统的响应。

§2-4 奇异函数本节解决的是时域法中子信号选取问题。

子信号的选取对系统分析至关重要。

为了利于分析，要求子信号具有：1）完备性：任意函数（或绝大部分函数）都可以分解为该子信号的和，没有（或几乎没有）例外；2）简单性：容易求得系统对该子信号的响应；3）相似性：不同子信号的响应具有内在联系，可以类推。

奇异函数是一种理想化的函数，这些函数或其各阶导数具有一个或多个间断点，在这些间断点上的导数无法用一般方法确定。

常用的有阶跃函数和冲激函数。

1、阶跃函数)(t ε⎩⎨⎧≥=其它001)(t t ε其中t 1>0。

任意函数乘以)(t ε以后，其t<0部分等于零，成为有始函数。

➢ 在很多文献中，用u(t)表示阶跃函数。

2、冲激函数)(t δ冲激函数的图形表示方法：位置，强度。

其中t 1>0。

冲激函数有很多种定义方法。

常见的有两种：1）定义为)(t ε的导数：)()(t dtdt εδ= ● 显然，该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；● )(t ε和)(t δ互为微分和积分⎰∞-=td t ττδε)()()(t δ的几个特性：● 1)(=⎰+∞∞-ττδd ；0,0)(≠=t τδ时。