第十二章●第三节
角的平分线的性质
Hale Waihona Puke 问题引入 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法。
你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法 是否可行呢？
问题引入
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E。 求证：PD =PE。
知识点详解
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB。 ∴∠PDO＝∠PEO=90°。 在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)。 ∴PD＝PE。
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。
练习题
2、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, CD=DE （已证）,DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
结论总结
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1、引导学生学会看图描述俄罗斯的地 理位置 ，并认 识俄罗 斯地理 位置的 突出特 点。 2、引导学生学会看图说出俄罗斯的地 形特点 ，并能 对俄罗 斯的地 形特点 和主要 河流建 立正确 的空间 概念。 3、引导学生认识俄罗斯气候的突出特 点，并 能对俄 罗斯的 自然环 境特点 进行综 合分析 。 4．举例说明人体的激素参与生命活动 的调节 。 5．进行资料分析，认同研究激素功能 的基本 方法。 6．举例说明激素调节受神经系统的调 控，人 的生命 活动主 要受神 经系统 调节， 但也受 激素调 节的影 响
知识点详解
证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO(公共边) PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上
知识点详解
结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程。
例题详解
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
E
知识点详解
从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺 和圆规作一个角的平分线？
7、自己想要的东西，要么奋力直追， 要么干 脆放弃 。别总 是逢人 就喋喋 不休的 表决心 或者哀 怨不断 ，做别 人茶余 饭后的 笑点。
A M
C
O
N
B
知识点详解
利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分 线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC， 在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线， 分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你 得到什么结论？
知识点详解
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的 两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
几何语言: ∵P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分 线上)
知识点详解
由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几 何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
A
ND
M
PF
B
E
C
例题详解 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路， 铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D 即为所求。
sD
C
练习题
1、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( D )
知识点详解
角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
边距离相等)。
知识点详解
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平 分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上。