从几个无穷级数看整数、圆周率和自然对数之底的不寻常的关系数学创生之初，只是一些简单的图形与计数，经过历史的堆积，历经萌芽，常量，变量等等阶段，发展到现代，已由数千年前的懵懂初开，化而为如今的枝繁叶茂，其内部存在的一切事物必有其存在的意义，互相关联，相辅相成，它能由最基本的自然数发展成实数理论，又扩展为多维数，并能自成一体，这本身就是一个奇迹，有时候想，也许宇宙本身就是数学性的，只有数学才是先验的。

站在数学浪花之尖，不住地向往，向往那历史上似乎渐渐逝去的光辉思维，向往古希腊的几何盛世，向往18世纪崇尚数感的年代，向往20世纪初期迸发的现代数学思想……Euclid 在写《原本》时是如何敏锐地选择了那几个定义公理公设并公理化地建立起整个欧氏几何，发展出公理化方法；Archimedes 又是如何将他的杠杆原理天才的与几何相结合并直觉地推导出一个个精妙的结论，从而引出微积分最原始的思想？Newton 又是怎样敏锐觉察到微分与积分的互逆关系？Euler 是在怎样的心境下将他的三角函数与复指数联系起来？Gauss 又是如何利用他的同余思想建立起一种研究数论的方法得到一个个不可思议的结论并开创了代数数论；Riemann 又是依据怎样的直觉断言ζ函数的非无聊零点都在直线ReZ=0.5上？Cantor 又是如何想到自然数集合与实数集合的基数存在本质的差别从而提出连续统假说而且建立起现代数学的基石---集合论……这一切，美妙如万花筒般，却又让人产生敬畏之心，一个理论的诞生，甚至一种奇思妙想的产生，若它确实对以往的难处产生了作用，那么在其中必能感受到一种强烈的反差，这种反差往往是由于体系扩大带来的，或许这叫做：领悟。

若是可能，我愿意遇见所有的那些反差……就让我们从Euler 公式，开始这一切的故事。

众所周知，1sin cos 22=+x x ，由此分解因式可有1,1)sin )(cos sin (cos -==-+i x i x x i x它形式上暗合于f(x)f(-x)=1,而x i x x f sin cos )(+=，我们将f(x)f(y)形式地展开有：)sin cos cos (sin )sin sin cos (cos )sin )(cos sin (cos y x y x i y x y x y i y x i x ++-=++也就是说：)sin()cos()sin )(cos sin (cos y x i y x y i y x i x +++=++ 换句话：)()()(y x f y f x f +=，这相当于暗示:f(x)是指数函数。

反复利用上式可有：nx i nx x i x nsin cos )sin (cos ±=±，故而得到两个式子：2)sin (cos )sin (cos cos nn x i x x i x nx -++=和ix i x x i x nx nn 2)sin (cos )sin (cos sin --+=现在让x 取无穷小量，n 取无穷大量，而nx=v 为有限数，x=v/n ，这样，就有：n vx x ==sin 与1cos =x ,代入以上两个式子，得到： i n iv n iv v n iv n iv v n n nn 2)1()1(sin 2)1()1(cos --+=-++=由熟知的结论: ）∞==+n ()1(tn e n t ，得到：ie e v e e v iviv iviv 2sin 2cos ---=+=由此二式可有：v i v e ivsin cos +=至此，我们得到ix e x i x x f =+=sin cos )( ○1 此即Euler 公式。

即虚指数量可以用余弦和正弦来共同表示，这个公式非常重要，从它可以感受到：三角与指数同出一源，正弦余弦是复指数的两个方面，一个反一个正。

顺便提一句，在○1里令π=x 可得1-=πi e ，可以写成01=+πi e这个公式是数学里最美丽的公式，它把数学中最重要的几个常数：自然对数之底，圆周率，虚数单位，自然数的单位，0结合起来，我们只能欣赏它而不能解释它的存在到底意味着什么……另外，我们可以有i ei=2π，从而得到22)(ππ-==ee i iii，这样，ii 居然是一个实数2π-e。

觉得在兔子洞里走得够深了吗……现在我们用te 的麦克劳林级数∞++++=......!3!2132t t t e t展开○1的右边： ∞++--+=......!5!4!3!215432ix x ix x ix e ix并分离出实部和虚部，可得到余弦和正弦的幂级数：∞+-+-=......!6!4!21cos 642x x x x ○2 ∞+-+-=......!7!5!3sin 753x x x x x ○3 由○3有∞+-+-=......!7!5!31sin 642x x x x x ，令2x w =并考虑方程 0......!7!5!3132=∞+-+-w w w事实上就是xxsin 0=，故而,......3,2,πππ±±±=x ，那么此方程的所有根就是： ,......3,2,22222πππ=w将多项式零点与系数的关系类比于此，多项式所有零点的倒数之和等于它一次项系数与常数项之比的相反数，所以得到：!313121122222=⋯⋯+++πππ，两边每项都乘以圆周率的平方，得到反平方级数： 63121112222π=⋯⋯+++这表明数列}1{2n 的前n 项之和不会超过62π，而且这是最佳的上界。

设关于w 的方程的所有根为,......)3,2,1(=k w k 则有：901!512)!31(12)1(12212=-=-=∑∑∑<∞=j i ji k k kw w w w，这表明： 903121114444π=⋯⋯+++ 这个过程可以无休止进行下去，现在记：∞⋯⋯+++=s s 312111)(s s ζ（这就叫Riemann ζ函数，事实上，解析延拓后，s 可以在一切1Re ≠s 的复数上取值）经过计算，我们有：⋯⋯======，，，，，，638512875691)12(93555)10(9450)8(945)6(90)4(6)2(12108642πζπζπζπζπζπζ然而我们只能得到一切正偶数的函数值，关于奇数的，比如)3(ζ的具体答案，我们一无所知……我们再以另外一个角度看正弦的幂级数，既然∞+-+-=......!7!5!3sin 753x x x x x ，故而此多项式的一切零点为0，,......3,2,πππ±±±所以必然能成立：∞⋯⋯---=)31)(21)(1(sin 22222222πππx x x x x (每个因式包含两个零点) ○4 同理可以得到：∞⋯⋯---=)541)(341)(41(cos 22222222πππx x x x ○5 在○4里面令2π=x ，得到：∞⋯⋯---=)611)(411)(211(21222π， ∞⋯⋯⨯⨯⨯⨯∞⋯⋯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=222286429775533121π这样就得到:∞=+-⨯⋯⋯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⋯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n ，)12()12(9531)2(864222222222222π， 由这个式子可以看到圆周率和整数之间有着不寻常的关系！由前叙有2cos ixix e e x -+=，现在我们形式地将x 换成ix ，于是有:2cos xx e e ix -+=我们解方程：02=+-xx e e ，即0cos =ix ，故而： ⋯⋯±±±=,25,23,2πππix ，即方程的一切根为⋯⋯±±±=,25,23,2i i i x πππ于是可以写∞⋯⋯+++=+-)541)(341)(41(222222222πππx x x e e x x 这又是一个初看不可思议的公式，我们可以在其中让x 取1或者π来得到一些恒等式。

π和e 都包含在这个恒等式中。

另外，由ie e x ixix 2sin --=也可以得到一个无穷乘积，就留给读者自己完成吧。

我们知道，每一个不小于2的正整数都可以唯一的分解为若干个素数的乘积:+∈≠∈⋯⋯=Z p p imeNumber p p p p a k j i k n n αααα,,Pr ,2121这叫做算术基本定理，它并不是不证自明的，在此我们不作证明了。

由此，我们可以有： (4)131211......)551......)(331......)(221(511311211222++++=⋯⋯+++++++++=⋯⋯------------s s s s s s s s s ss s 上式最左端的分母中的2，3，5，……是一切素数，当那些括号被展开后，由于算术基本定理，每个正整数都将出现且只出现一次，故而得到最右端。

故而得到恒等式：∞⋯⋯---=---ss s s 511311211)(ζ 由之前的结论有：......111)......511)(311)(211(511311211511311211)90()6(23222122244422242+++=+++=⋯⋯---⋯⋯---=------m m m ππ 易见，最后一个等号后面的k m 是所有那些不含重素因子的正整数的全体。

前几个是：1,2,3,5,6,7,10,13,15,……由此可见所有这种数的平方的倒数和为215π. 以上得到的级数63121112222π=⋯⋯+++在历史上很有名，一般叫做反平方级数，下面我们来探索一下如果它每一项的分母都有一个扰动会如何呢?即：∞++++++++ (41)3121112222cc c c 先借用复变指数导出两个不定积分： 形式地，有C bia e dx eI xbi a xbi a ++==++⎰)()(，但是又：dx bx e i dx bx e I ax ax ⎰⎰+=sin cos用Euler 公式将第一个积分式的实部和虚部分开，和第二个积分式对比，可以得到：C ba bxb bx a e dx bx e C ba bxb bx a e dx bx e axaxax ax++-=+++=⎰⎰2222)cos sin (sin )sin cos (cos 利用这两个式子，将函数)2,0[,)(π∈=x e x f tx作周期为T=2π的延拓，将定义域扩大到R ，再将其展开为Fourier 级数：]sin )sin )((1cos )cos )((1[)(21)(20201202kx dx kx x f kx dx kx x f dx x f x f k T ⎰⎰∑⎰++−−→−∞==πππππππ得到：)sin 1cos 1(121)(222122222kx k tk e kx t t k e t e x f t k t t T +-++-+-−−→−∑∞==ππππππ)(x f 在x=0时间断，它的Fourier 级数在x=0时收敛到)(x f 在x=0处的左右极限的算术平均值：212)0()0(2+=++-t e f f π.所以得到：）t tk e t e e k t t t ∑∞=+-+-=+1222221(12121πππππ，整理后得到： 2222222221)(2)(312111te e t e e t t t t t t t t --+=⋯⋯++++++--πππππ 若引入记号：xxx e e x e e x x x x x sinh cosh coth ,2sinh ,2cosh =-=+=--(它们分别叫做双曲余弦函数，双曲正弦函数，双曲余切函数)，则可以将上式写成：222222221)coth(312111tt t t t t -=⋯⋯++++++ππ ○6 事实上令右边的t 趋向于0取极限便是62π，这就是反平方级数；两边对t 求导数，还能得到更多的级数。